Question

听说微分几何中又分为古典微分几何、现代微分几何、黎曼几何，我想问下曲面展平用微分几何中的哪种？

Answer 1

那就是古典微分几何的内容。

古典微分几何讲的是三维欧氏空间中的曲线和曲面怎样怎样，我们用一种事后诸葛的角度来看，它要处理的不仅仅是曲线（一维流形）和曲面（二维流形），还要处理一维流形、二维流形和三维流形（即我们的三维空间）之间的关系。你问的曲面的可展性就是其中的一个课题。

现代微分几何（又叫微分流形理论）先以古典微分几何中的曲线和曲面为蓝本建立了微分流形的概念。这个概念是独立的，用不着像古典微分几何那样把曲线和曲面放在三维空间中去。用古典微分几何的话说就是“内蕴”的。等到对微分流形这个概念理解透彻了，它再开始考虑流形和流形之间的浸入、嵌入（或叫子流形）、正则嵌入（或叫嵌入）这些关系。到了这一步古典微分几何就变成它的一个特例了。

黎曼几何是在微分流形上加上度量，然后研究度量所能提供的一系列手段和性质。所以，它是微分流形理论的一个分支，也是很重要的一个分支。

古典微分几何牵涉三种维数的流形之间的相互关系，还牵涉到各自的度量，而且曲线、曲面上的度量都和三维欧氏空间的度量有关系，所以，古典微分几何要研究的内容在逻辑上错综复杂。现代微分几何实际上是对这种状况做了一个梳理，在逻辑上层层剥离、抽筋剔骨，最后作成了一个概念上层次清晰的逻辑框架。这时候再倒回头看古典微分几何的时候，所有的错综复杂和精妙之处在逻辑上都有了落脚点。

追问

我是想学手袋设计，依你看应该学哪种几何？

追答

做手袋设计的话，古典微分几何就够了，而且也比现代微分几何更合适。我有点出乎意料，手袋设计会用到这么高深的东西吗？呵呵，真地意外。如果是做船舶设计或飞机气动外形设计的话，用微分几何很正常。

追问

现在还有没有古典微分几何的书卖？

我见到些少的手袋是由曲面构成的，我不知道那些设计师是怎样做出来的，但我想用曲面展平的几何或许能做出来。

我见到些少的手袋是由曲面构成的，我不知道那些设计师是怎样做出来的，但我想用曲面展平的几何或许能做出来。

追答

古典微分几何的书还是有的。以前用的是苏步青的，现在还有些什么书就不清楚了。总之，看目录中有曲线理论、曲面理论的就是了。目录中肯定会有曲率、挠率、第一基本型、第二基本型、第三基本型、嵌入定理之类的。

追问

上次我跟你说，我见到有些手袋是由曲面构成的，我不知道那么设计师是怎么做出来的，但我想用古典微分几何或许能做出来。依你看我这个想法正确与否？

追答

皮革是平面的，通过挖掉一部分再缝合的办法是可以造出曲面来的。这应当是主要手段。除此之外别的什么手段我就不知道了，我猜，即便有也是辅助的。如果确实像我猜的那样，微分几何倒不一定是必须的，因为，可以通过试验的办法达到目的。

不过，从微分几何的角度看，如果曲面是不可展的，单纯挖补的办法是作不出某些曲面的。难道真有把皮革弄成各种曲面的工艺？这我真不了解。

追问

还在吗？能不能将一个曲面展平的计算过程发给我

追答

从理论上说，不是任何曲面都可以展平的。例如球面，就没法展平，就是说，没法用一块皮子做出一个球面，甚至连球面的一部分都做不出来。如果你问的是这个意思的话，那就只能说，只有可展曲面才能用皮子严格地做出来。不可展的只能近似地做一个。不过，这方面的算法我还真没有。

我觉得，你要用皮子近似地做一个曲面（例如球面），可以先把要做的曲面划分为几块（就像足球那样划成五边形和六边形），然后每一块用一块平的皮子去近似。这里面有一些艺术性和美学的考虑，所以，好像不容易找一种通用的算法。如果不考虑美观，任何曲面都可以用三角剖分的办法划为一块块三角形，如果这么做足球，肯定不好看。

追问

我想你在微分几何书中曲面展平那页拍个照片发给我，我想对着找资料。

追答

这是苏步青等人的《微分几何》里的相关内容。因为要涉及包络面之类的概念，就一起给你附上了。另外，也可以参考维基百科的内容，地址是

http://zh.wikipedia.org/wiki/可展曲面

http://en.wikipedia.org/wiki/Developable_surface

这是苏步青等人的《微分几何》里的介绍，真正相关的内容只有最后三页，但是涉及其他概念，我一并给你附上了。也可以参考维基百科的介绍，地址是

http://zh.wikipedia.org/wiki/可展曲面

http://en.wikipedia.org/wiki/Developable_surface

追问

你发给我的照片我看了，好像是证明曲面是可展曲面的内容，微分几何就只有这些，没有那些计算某个可展曲面展成平面后的形状的吗？

追答

没有。相关的内容就这么多了。

如果是可展曲面（于是它是一种直纹面），可以在曲面上选择一条基准的母线作为纵轴，然后在纵轴上选一个点作为原点，在可展曲面上过原点作一条测地线作为横轴，使之和基准母线垂直。在纸上选一个点作原点，过原点画一个横轴和一个纵轴使之相互垂直。纸上的横轴和纵轴分别对应于曲面上的横轴和纵轴。这种对应按照距离来确定对应点。

在曲面横轴上任取一点 p，过该点作曲面的母线 l，量出该母线 l 和横轴的夹角，在纸上在对应于 p 的那一点作一条直线 l'，使之和横轴有同样的夹角。l' 和 l 相互对应（同样按照和 p 的距离来确定对应点）。用这种方法可以确定曲面上任意一点在纸上的对应点。找出曲面的边界对应的那些点，画出来、剪好后，一粘贴就可以了（必要的时候，要给边界做个铁丝圈以保持其形状）。

非可展曲面的话，因为只能近似地作，比较麻烦，而且方法不同，结果也不同。

追问

你这个方法中说到:“在曲面横轴上任取一点p，过该点作曲面的母线l，量出该母线l和横轴的夹角。”曲面上的夹角怎样量取的呢？我只有初中的学历，不知道怎样量取曲面上的夹角。

Answer 2

古典就够了，古典微分几何即指三维欧氏空间中的曲线曲面论

追答

赋予度量后，证明曲面和平面是等距同构的。

Answer 3

古典和现代是从时间远近上来说的。