Question

椭圆的两焦点为F1,F2在椭圆上存在8个点P使得△F1PF2为直角三角形，则椭圆离心率范围是？

高二数学题目啊，拜托帮忙解决啊，在线等啊，明天要交的啊，谢谢

Answer 1

不妨设椭圆焦点在x轴上，为F1，F2。
方程为x²/a²+y²/b²=1
(1)任何的椭圆,过焦点作x轴的垂线，与椭圆的四个交点是满足题意的
(2)剩下的是考虑P为直角顶点的情况
设P(x,y)
则F1P⊥F2P
F1P=(x+c,y)F2P=(x-c,y)
F1P*F2P=0
x²-c²+y²=0
x²-c²+y²=0 ---->a²x²-a²c²+a²y²=0 ①
x²/a²+y²/b²=1 -->b²x²+a²y²=a²b² ②
由①、②。
(a²+b²)x²=a²(c²-b²)
x 有两解
所以 c²-b²>0
c²-(a²-c²)>0
2c²>a²
e>√2/2
又因为椭圆离心率<1
所以离心率的范围是（√2/2,1)