Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),其左右焦点分别是F1(-c,0)F2(c,0)，且a,b,c成等比数列

1）求c/a(2)若C的上顶点，右顶点分别为A，B证角F1AB=90度（3）若P为椭圆C上任意一点，是否存在过点F2，P的直线L，使L与Y轴的交点R满足 向量RP=-2向量PF2？若存在求出L的斜率，不存在说明理由

Answer 1

解：（1）由题设b2=ac及b2=a2-c2，得 ．
（2）由题设A（0，b），B（a，0），又F1（-c，0），
得 ， ，
于是 ，
故∠F1AB=90°．（10分）
（3）由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为y=k（x-c），
得R（0，-kc），又F2（c，0），及 ，得点P的坐标为（2c，kc），（12分）
因为点P在椭圆上，
所以 ，
又b2=ac，得 ， ，与k2≥0矛盾，
故不存在满足题意的直线l．

Answer 2

1）由题设b2=ac及b2=a2-c2，得ca=
5-12．
（2）由题设A（0，b），B（a，0），又F1（-c，0），
得AF1=(-c，-b)，AB=(a，-b)，
于是AF1•
AB=-ac+b2=0，
故∠F1AB=90°．（10分）
（3）由题设，显然直线l垂直于x轴时不合题意，设直线l的方程为y=k（x-c），
得R（0，-kc），又F2（c，0），及RP=-2
PF2，得点P的坐标为（2c，kc），（12分）
因为点P在椭圆上，
所以(2c)2a2+
(kc)2b2=1，
又b2=ac，得4(
ca)2+k2•
ca=1，k2=
5-3
52＜0，与k2≥0矛盾，