Question

已知定义域为R的函数f（x)=a-2/3的x次方+1（a属于R）是奇函数，（1）求a的值

（2）判断函数f（X)在R上的单调性，并证明你的结论
(3)求函数f(x)的值域

Answer 1

（1）
f(x)=a-2/(3^x+1)是奇函数
那么f(-x)=-f(x)
即a-2/[3^(-x)+1]=-a+2/(3^x+1)
2a=2/(3^x+1)+2*3^x/(1+3^x)
a=(1+3^x)/(1+3^x)=1
(2)
f(x)=1-2/(3^x+1)为R上的增函数
证明：任取m<n
f(m)-f(n)
=-2/(3^m+1)+2/(3^n+1)
=2[1/(3^m+1)-1/(3^n+1)]
=2(3^n-3^m)/[(3^m+1)(3^n+1)]
=2*3^m*[3^(n-m)-1]/[(3^m+1)(3^n+1)]
∵m<n ,m-n<0
∴3^(n-m)<1,3^(n-m)-1<0
∴2*3^m*[3^(n-m)-1]/[(3^m+1)(3^n+1)]<0
即f(m)-f(n)<0,f(m)<f(n)
∴f(x)=1-2/(3^x+1)为R上的增函数
（3）
∵3^x>0
∴3^x+1>1
∴0<2/(3^x+1)<2
∴-1<1-2/(3^x+1)<1
即f(x)的值域为(-1,1)

Answer 2

1). f(x)=a-2/(3^x+1)
因为 f(-x)=a-2/(3^(-x)+1)=-[2-a-2/(3^x+1)]=-f(x), 所以 2-a=a ， a=1.
2). 因为 f'(x)=[2*3^x*ln3]/[1+2*3^x+3^(2x)]>0
所以f(x)=1-2/(3^x+1)连续单调递增，
3)当x趋于正无穷，f(x)趋于1；x趋于负无穷，f(x)趋于-1，所以函数值域为（-1,1）。