Question

一道线代题目:设A是一个m×n矩阵，r(A)=r…

从A中任意划去m-s行与n-t列，其余元素按原来位置排成一个s×t矩阵C.证明:r(C)＞=r+s+t-m-n

Answer 1

利用r(X+Y) <= r(X) + r(Y)的推论r(X-Y) >= r(X) - r(Y)

不要把划去部分扔掉, 而改用0填充, 这样得到的mxn矩阵记为B, 那么r(B)=r(C), 只要看r(B)就行了

如果先把划去的m-s行置成零, 相当于A1 = A - U, U在划去的m-s行上与A相等, 余下部分为0, 所以r(U)<=m-s

然后从A1里划去n-t列, 相当于B = A1 - V, 同理r(V)<=n-t
接下来r(B) >= r(A) - r(U) - r(V) >= r-(m-s)-(n-t)

Answer 2