Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC． (1)若m为常数，求

一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
一定要△BCD的面积

Answer 1

（1）A、B两点的中垂线为X=(x_A+x_B)/2=((m-2)+(m+2))/2=m，也就是抛物线的对称轴-b/2a=m，设顶点C坐标为(m，n)，那么可令抛物线的方程为y=a(x-m)^2+n，把AB点的坐标代入，得：4a+n=0……(1)式，又因AC垂直BC，由勾股定理得AC^2+BC^2=AB^2，化简有n^2-4=0……（2)式。联立（1)、（2)式，解得n=-2，a=1/2(n=2，a=-1/2不符题意，舍去）。于是抛物线的解析式是y=1/2(x-m)^2-2
（2）向右移动-m个单位，向上平移2个单位。
（3）由抛物线的解析式，令X=0得Y=m^2/2-2，于是D点坐标为(0，m^2/2-2)，D点在y轴正半轴上，有m^2/2-2>0，得m<-2，或m>2。
已知B(m+2, 0), C(m, -2),
分三种情况讨论，1！BC=BD, 2! CB=CD, 3!DC=DB, 经分析(画示意图）1！、2！两种情况不存在，只需讨论3! 即
（m-0)^2+(-2-(m^2/2-2))=(m+2-0)^2+(0-(m^2-2))^2， 化简
m^2-2m+4=0 解之得 m=2
与上面m>2矛盾，因此不存在m ……

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