Question

一道高一数学题谢谢

判断g(x)=x^4-2x^2-3的单调区间

Answer 1

用换元法
定义域为R
将x^2=t,则y=t^2-2t-3
t=x^2在x=0处单调性发生改变。y=t^2-2t-3在t=1处（即x=-1和1处）单调性发生改变
所以考虑以下几个区间（对x 来分）：（负无穷，-1）、（-1，0）、（0，1）、（1，正无穷）
对应到t为：（1，正无穷） 、（0，1） 、（0，1）、（1，正无穷）

t=x^2在（负无穷，-1）减、（-1，0）减、（0，1）增、（1，正无穷）增
y=t^2-2t-3在（0，1）减（1，正无穷）增
根据同增异减可知g(x)=x^4-2x^2-3在（负无穷，-1）减、（-1，0）增、（0，1）减、（1，正无穷）增
能看懂不？比以前用的换元法要麻烦一些
等你到了高二学了导数，这个题就很简单了、。

Answer 2

这是复合函数的单调性问题
令f(x)=x^2 则
g(x)=f(x)^2-2f(x)-3
=[f(x)-3][f(x)+1] 其中 f(x)>=0
g[f(x)]在[0,1)单调递减，在[1,+无穷）单调递增
-1<x<1时，0=<f(x)<1
x<=-1或x>=1时，f(x)>=1
又f(x)在（-无穷，0]单调递减，（0，+无穷）单调递增
考虑复合函数的单调性，知，g(x)在[-1,0），（1，+无穷）单调递增
在（-无穷，-1），[0,1]单调递减
另外，还可以用导数法求解。

Answer 3

其实求导蛮快的。。。鉴于是高一。。。
g(x)=(x^2-3)(x^2+1)
x在正负根号3附近g(x)出现变号，x以0为分界变号
负无穷到负根号3 单调减
负根号3到0 单调增
0到正根号3 单调减
正根号3到正无穷 单调增

Answer 4

利用复合函数求单调性：同增同减为增；一增一减为减
令t=x^2 g(x)=t^2-2t-3
当x>1或0<x<1时g(X)为增

当x<-1或-1<x<0时g(x)为减

追问

那个
主要是当x>1或0<x<1时g(X)为增

当x<-1或-1<x<0时g(x)为减
不明白
可以再说细致一点么

追答

举一个例：
当x>1时 对于t=x^2 画出图象，可知t=x^2 为增函数
而x>1也就t>1 画出 g(t)=t^2-2t-3的图象，可知当t>1时,g(t)为增函数

同增同减为增

所以为当x>1时，为增函数
--------------------------------------
小改一下位置
当x>1或-1<x<0 时g(X)为增

当x<-1或0<x<1时g(x)为减

追问

x<-1
为什么是减

追答

g(t)=t^2-2t-3对称轴是t=1
所以
t=x^2>1得x>1或x<-1

Answer 5

求导数
g'(x)=4x^3-4x
=4x(x^2-1)
=4x(x+1)(x-1)
当g'(x)>0时，g(x)单调递增；当g'(x)<0时，g(x)单调递减
所以g(x)在(-1,0)，(1，正无穷)上单调递增，在(负无穷,-1)，(0,1)上单调递减