Question

在△ABC中，AB=AC,P是BC上一点，试证明：AB²=PA²+PB•PC.

Answer 1

作AD⊥BC
根据勾股定理得：AP^2＝AD^2＋PD^2
因为AB＝AD，AD⊥BC
所以根据“三线合一”性质得BD＝CD
所以PB*PC＝(BD－PD)(CD＋BD)
＝(BD－PD)(BD＋PD)
＝BD^2－PD^2
所以
AP^2＋PB*PC
＝AD^2＋PD^2＋BD^2－PD^2
＝AD^2＋BD^2
因为由勾股定理得：
AD^2＋BD^2＝AB^2
所以AP^2＋PB*PC＝AB^2

Answer 2

证明：
设P为BC上任意一点，作AD⊥BC
根据勾股定理得：
AP^2＝AD^2＋BD^2
因为AB＝AD，AD⊥BC
所以根据“三线合一”性质得BD＝CD
所以PB*PC＝(BD－PD)(CD＋BD)
＝(BD－PD)(BD＋PD)
＝BD^2－PD^2
所以
AP^2＋PB*PC
＝AD^2＋BD^2＋BD^2－PD^2
＝AD^2＋BD^2
因为由勾股定理得：

AD^2＋BD^2＝AB^2
所以AB^2－AP^2＝PB*PC

Answer 3

利用余弦定理