Question

高一数学必修一函数问题

①函数y=f(x)对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x＞0是，f(x)＞1，并且f(3)=4
(1)证明：f(x)是增函数、
(2)求f(x)在[1,2]上的最大值和最小值。
②设函数f(x)=ax²+1\bx+c是奇函数(a,b,c∈Z)，且f(1)=2,f(2)＜3，求a,b,c的值
③设二次函数f(x)=x²-4x-1在区间[t,t+2]上的最小值为g(t),试求函数y=g(t)的最小值
④已知y=f(x)是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？证明结论。
⑤已知函数f(x)=x-1\x+1,x∈[1,3],求函数的最大值和最小值。

请给出详细过程。

Answer 1

①（1）f(x+y)=f(x)+f(y)-1
令x=y=0,则有：f(0)=f(0)+f(0)-1
f(0)=1
再另y=-x,则有：f(0)=f(x)+f(-x)-1=1
f(x)+f(-x)=2,f(-x)=2-f(x)
任取X1，X2属于R，且X1>X2
则：
f(x1-x2)
=f(x1)+f(-x2)-1
=f(x1)+2-f(x2)-1
=f(x1)-f(x2)+1
又当x大于0，f(x)大于1，
所以f(x1-x2)==f(x1)-f(x2)+1>1
所以f(x1)-f(x2)>0
故f(x)是增函数
（2）因为f(x)是R上的增函数
所以x在[1,2]上当x取1的时候有最小值，即为x取2的时候最大值
f(3)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-2=4
所以f(1)=2
f(2)=f(3)-f(1)+1=4-2+1=3
所以最小值为2，最大值为3.
② 因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x),
即（ax^2+1)/(bx+c)=-(ax^2+1)/(-bx+c),
ax^2+1≠0,解得：c=0
f(1)=(a+1)/b=2 ①
f(2)=(4a+1)/2b＜3 ②
合并①② 可解得a<2 b<3/2 （②式中要讨论b>0和b<0两种情况，其中b<0的情况不符合）
a、b∈z 所以a=b=1
∴a=b=1 c=0
③解：f（x）=x²-4x-1=（x-2）²-5，则对称轴x=2，分三种情况求解：
（1）当t≥2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是增函数，
∴最小值为g（t）=f（t）=t²-4t-1，
（2）当0＜t＜2时，对称轴在区间[t，t+2]内，
∴最小值为g（t）=-5，
（3）当t≤0时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是减函数，
∴最小值为g（t）=f（t+2）=t²-5
④F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
证明：
先设x>=0,由题意，存在任意正数a
f(x+a)-f(x)>0 （1）

由于f是奇函数，那么f(-x-a)=-f(x+a),f(-x)=-f(x);
1/f(-x) - 1/f(-x-a) （2）
= f(-x-a)-f(-x)/f(-x)f(-x-a)
= -[f(x+a)-f(x)]/f(x)f(x+a)

由（1）以及f(x)f(x+a)>0可得（2）< 0
所以，F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
⑤f(x)=(x+1-2)/(x+1)
=(x+1)/(x+1)-2/(x+1)
=1-2/(x+1)

1<=x<=3
2<=x+1<=4
所以1/4<=1/(x+1)<=1/2
-1<=-2/(x+1)<=-1/2
1-1<=1-2/(x+1)<=1-1/2
0<=f(x)<=1/2
所以最大值=1/2，最小值=0

Answer 2

①
x>y,
x-y>0, f(x-y)>1.
f(x)-f(y)=f[(x-y)+y]-f(y)=f(x-y)+f(y)-1-f(y)=f(x-y)-1>0.
f(x)单调增.

4=f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)-1+f(1+1)=f(1)-1+f(1)+f(1)-1=3f(1)-2,f(1)=2.
4=f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=1+f(2), f(2)=3,
1<=x<2, f(1)=2<=f(x)<=f(2)=3.
f(x)在[1,2]上的最大值和最小值分别为3和2.

②
f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)是奇函数.
0=f(0)=1/(c), 题目有误,无解.

③
f(x)=x^2-4x-1=x^2-4x+4-5=(x-2)^2 - 5.
f(x)在x>2时单调增,在x<2时单调减.
t>=2, t<=x<=t+2时,f(t)<=f(x)<=f(t+2), g(t)=f(t)=(t-2)^2 - 5>=-5.
t<=0,t<=x<=t+2<=2时, f(t)>=f(x)>=f(t+2), g(t)=f(t+2)=t^2 - 5>=-5.
0<t<2, t<=x<=t+2时，f(x)的最小值为f(2)=-5=g(t).
因此，g(t)的最小值为-5。

④
y=f(x)是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，因此，f(x)在x<0上是增函数。
又x>0时，f(x)<0, 因此
x<0时，f(x)>0.
1/f(x)在x<0上是减函数。

⑤
f(x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x+1),
1<=x<=3. 2<=x+1<=4, 1/2>=1/(x+1)>=1/4,
-1<=-2/(x+1)<=-1/2,
0<=1-2/(x+1)=f(x)<=1/2
函数的最大值和最小值分别为1/2和0

Answer 3

①函数y=f(x)对于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x＞0是，f(x)＞1，并且f(3)=4
(1)证明：f(x)是增函数、
(2)求f(x)在[1,2]上的最大值和最小值。

证明：（1）f(x+y)=f(x)+f(y)-1
f(x+y)-f(x)=f(y)-1
设x1>x2
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)-1
因为 x1-x2>0,f(x1-x2)>1
所以 f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以 f(x)是增函数
（2）由（1），最大值为f(2),最小值为f(1)
f(x+y)=f(x)+f(y)-1
f(3)=f(2)+f(1)-1=4
f(2)=f(1)+f(1)-1
所以 3f(1)-2=4
f(1)=2
f(2)=3
所以最大值为3，最小值为2
②设函数f(x)=ax²+1\bx+c是奇函数(a,b,c∈Z)，且f(1)=2,f(2)＜3，求a,b,c的值

解：奇函数
f(-x)=（ax²+1）/(-bx+c)=-f(x)
（ax²+1）/(-bx+c)=-(ax²+1）/(bx+c)
（ax²+1）/(-bx+c)=(ax²+1）/(-bx-c)
所以 c=0
f(x)=（ax²+1）/bx
f(1)=(a+1)/b =2
a+1=2b
f(2)=(4a+1)/2b=(4a+1)/(a+1)<3
(4a+1)/(a+1)-3<0
(a-2)/(a+1)<0
-1<a<2
a+1是偶数，a是奇数
所以a=1，b=1

③设二次函数f(x)=x²-4x-1在区间[t,t+2]上的最小值为g(t),试求函数y=g(t)的最小值
解 f(x)=(x-2)²-5
对称轴x=2
(1) t>2时，
g(t)=f(t)=t²-4t-1=(t-2)²-5 g(t)>-5
(2) t≤2≤t+2,即 0≤t≤2时，
g(t)=f(2)=-5
(3) t+2<2，即t<0时，
g(t)=f(t+2)=t²-5 g(t)>-5
综上，g(t)的最小值为-5
④已知y=f(x)是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？证明结论。
解及证明：
F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
在(-∞,0)上任取x1,x2,设x1<x2
则 -x1>-x2>0
因为f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(x)＜0
所以 0>f(-x1)>f(-x2)
f(x)是奇函数
所以 0>-f(x1)>-f(x2)
0<f(x1)<f(x2)
1/f(x1)>1/f(x2)
即 F(x1)>F(x2)
所以F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是减函数
⑤已知函数f(x)=x-1\x+1,x∈[1,3],求函数的最大值和最小值。
解：f(x)=(x+1-2)/(x+1)
=1-2/(x+1)
x∈[1,3]
x+1∈[2,4]
1/(x+1)∈[1/4,1/2]
-2/(x+1)∈[-1,-1/2]
f(x)∈[0,1/2]
所以f(x)的最大值为1/2
f(x)的最小值为0
另法：f(x)=(x+1-2)/(x+1)
=1-2/(x+1)
在【1,3】上是增函数
最大值为f(3)=1/2
最小值为f(1)=0

Answer 4

①设x1＞x2，则x1-x2＞0，从而f(x1-x2)＞1，即f(x1-x2) -1＞0．
f(x1)=f【x2+(x1-x2)】=f(x2)+f(x1-x2) -1＞f(x2)，
故f(x)在R上是增函数．
f(x+y)=f(x)+f(y)-1,令x=y=1可得f(2)=f(1)+f(1)-1,
令x=2,y=1可得f (3) = f (2) + f (1) - 1
所以f (3) =[ f(1)+f(1)-1] + f (1) - 1
= 3f(1) - 2
因为f(3)= 4
所以f(1) = 2，f(2)= 2f(1) - 1 = 3
由①知函数是增函数，f(1) = 2 最小，f(2)= 3 最大。

②f(x)=(a x²+1)/(bx+c)为奇函数,
则有f(-x)=-f(x).
(a x²+1)/(-bx+c)=- (a x²+1)/(bx+c)
-bx+c=-bx-c, c=0.
由f(1)=2得， (a +1)/b=2. 2b=a+1.
由f(2)<3得，(4a +1)/(2b)<3.
将2b=a+1代入上式：(4a +1)/( a+1)<3,
即(a-2)/(a+1)<0,-1<a<2.
∵a∈z ∴a=0或1.
a=0时，b=1/2,舍去。
a= 1时，b=1，适合题意。
所以f(x)= ( x²+1)/x.

③f(x)=x²-4x-1=(x-2)^2-5,
1)t+2≤2即t≤0时，
g(t)=f(t+2)=(t+2)^2-4(t+2)-1=t^2-5
此时g(t)= t^2-5≥-5
2)t<2<t+2即0<t<2时，
g(t)=f(2)=-5
3)t≥2时，
g(t)=f(t)=t^2-4t-1=(t-2)^2-5，
此时g(t)= (t-2)^2-5≥-5
所以函数y=g(t)的最小值是-5.

④y=f(x)是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问F(x)=1\f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？证明结论。
设x1＜x2＜0则：
F（x1）-F（x2）=1/f（x1）-1/f（x2）=[f（x2）-f（x1）]/f（x1）f（x2）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又x1＜x2＜0
∴-x1＞-x2＞0
∴f（-x1）＞f（-x2）
又f（x）是奇函数，f（-x1）=-f（x1），f（-x2）=-f（x2）
∴-f（x1）＞-f（x2）
∴f（x2）-f（x1）＞0；
因为在（0，+∞）上f（x）＞0，
这样f（x1）f（x2）=[-f（x1）]*[-f（x2）]
= f（-x1）*f（-x2）＞0
∴[f（x2）-f（x1）]/f（x1）f（x2）＞0
∴F(x1)-F（x2）＞0
∴F（x）在（-∞，0）上是减函数.

⑤f(x)=(x+1-2)/(x+1)
=(x+1)/(x+1)-2/(x+1)
=1-2/(x+1)

1<=x<=3
2<=x+1<=4
所以1/4<=1/(x+1)<=1/2
-1<=-2/(x+1)<=-1/2
1-1<=1-2/(x+1)<=1-1/2
0<=f(x)<=1/2
所以最大值=1/2，最小值=0

Answer 5

解：

①
x>y,
x-y>0, f(x-y)>1.
f(x)-f(y)=f[(x-y)+y]-f(y)=f(x-y)+f(y)-1-f(y)=f(x-y)-1>0.
f(x)单调增.

4=f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)-1+f(1+1)=f(1)-1+f(1)+f(1)-1=3f(1)-2,f(1)=2.
4=f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=1+f(2), f(2)=3,
1<=x<2, f(1)=2<=f(x)<=f(2)=3.
f(x)在[1,2]上的最大值和最小值分别为3和2.

②
f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)是奇函数.
0=f(0)=1/(c), 题目有误,无解.

③
f(x)=x^2-4x-1=x^2-4x+4-5=(x-2)^2 - 5.
f(x)在x>2时单调增,在x<2时单调减.
t>=2, t<=x<=t+2时,f(t)<=f(x)<=f(t+2), g(t)=f(t)=(t-2)^2 - 5>=-5.
t<=0,t<=x<=t+2<=2时, f(t)>=f(x)>=f(t+2), g(t)=f(t+2)=t^2 - 5>=-5.
0<t<2, t<=x<=t+2时，f(x)的最小值为f(2)=-5=g(t).
因此，g(t)的最小值为-5。

④
y=f(x)是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，因此，f(x)在x<0上是增函数。
又x>0时，f(x)<0, 因此
x<0时，f(x)>0.
1/f(x)在x<0上是减函数。

⑤
f(x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x+1),
1<=x<=3. 2<=x+1<=4, 1/2>=1/(x+1)>=1/4,
-1<=-2/(x+1)<=-1/2,
0<=1-2/(x+1)=f(x)<=1/2

函数的最大值1/2
最小值0

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