Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(-2,0)且不等式2x≤f(x)≤1/2x^2+2对于一切实数x都成立。

（1）求f(x)的解析式
（2）若对一切x∈[-1,1]，不等式f(x+t)＜f(x/2)恒成立，求实数t的取值范围。详细！！！！！！！谢谢啦

Answer 1

（1）分别得三个不等关系就可以了，依题目意思有如下：
4a-2b+c=0, a>0,(b-2)^2-4ac<0, a-1/2<0, b^2-4(a-1/2)(c-2)<0
解这些关系，依次得到a,b,c就可以写出来，
（2）写出解析式后作图，要想恒成立，必须有在合适的t,且x(-1,1)内有
f(x+t)_max<f(x/2)_min依此关系求解。
解：（1）∵二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(-2,0)
∴4a-2b+c=0 ①
又 ∵ 2x≤f(x)≤（1/2）x²+2对于一切实数x都成立。
∴a>0,(b-2)²-4ac<0， a-1/2<0, b²-4(a-1/2)(c-2)<0 ②
且由2x=（1/2）x²+2得x=2,故点（2,4）在f(x)图像上
∴4a+2b+c=4 ③
由①③得 b=1 ④
将①③④代入②得（4a-1）²≤0，故（4a-1）²=0,a=1/4
将a=1/4，b=1代入①得c=1
故f(x)=(1/4)x²+x+1
（2）f(x)=(1/4)x²+x+1=1/4（x+2）²的对称轴为x=-2
f(x)在[-1,1]上单调递增
∴x+t<x/2在x∈[-1,1]上恒成立
∴t<-1/2

Answer 2

（1）这题不难，分别得三个不等关系就可以了，依题目意思有如下：
4a-2b+c=0, a>0,(b-2)^2-4ac<0, a-1/2<0, b^2-4(a-1/2)(c-2)<0
解这些关系，依次得到a,b,c就可以写出来，
（2）写出解析式后作图，要想恒成立，必须有在合适的t,且x(-1,1)内有
f(x+t)_max<f(x/2)_min依此关系求解。