Question

已知对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-t,(t为常数）并且当x>0时,f(x)<t,求证:f(x)是R上的减函数

Answer 1

设x1>x2，由题知：f（x1）=f（x2）+f（x1—x2）—t
移项得：f（x1）— f（x2）=f（x1—x2）—t，显然，f（x1—x2）>0，所以f（x1—x2）—t>0
因此，f（x1）—f（x2）>0。由减函数定义知，f（x）为减函数。

Answer 2

设x1+a>x1 a>0 f(x1+a)-f(x1)=f(x1)+f(a)-t-f(x1)=f(a)-t 因为当a>0时,f(a)<t,所以f(a)-t<0
所以f(x)为减函数。
说明一下：这里把平常用的x2>x1换成了x1+a>x1(a>0),是为了解题方便。

Answer 3

令x=y=2,得f(4)=2f(2)-t=-t-4,∴f(2)=-2.
原不等式变为f(m^2-m)>-2=f(2),
∵f(x)是R上的减函数，
∴m^2-m<2,
m^2-m-2<0,
∴-1<m<2.