Question

三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点

求二面角M-B1C-A1的余弦值
如图所示。

Answer 1

证明: 连接MC,MB1取B1C的中点为G, 连接MG,NG,容易证明三角形MBC现三角形MBB1全等.
故MC = MB1.而MG为等腰三角形CMB1腰上的中线,故MG垂直于B1C. (1)
又由中位线定理,NG//A1B1//AB. (2)
而AB 垂直于BC, 又由于侧棱垂直于底面,故BB1垂直于AB,.
由此知AB垂直于平面BCC1B1.(一直线垂直于平面上的相交直线,就垂直于这个平面.)
从而AB垂直于B1C,(一直线垂直于平面,就垂直于这个平面上的任何直线).
从而(由(2))知NG垂直于B1C.
于是,角MGN为所求二面角的平面角.

在三角形MGN中.NG=(1/2)A1B1= 1. (3)
连接BG,求得BG = 根号2,BM= 1,角ABC为直角.故由勾股定理:MG = 根号3. (4)
再连接MA1,在三角形MCA1中,MA1= MC= 根号5, MN为中线,故MN垂直于A1C,
在直角三角形AA1C中,求得,A1C= 根号[4+8]= 2根号3,从而A1N= 根号3.
在直角三角形MA1N中,求得MN= 根号[MA1^2 -A1N^2]=根号[5-3]= 根号2. (5)
注意到(3) (4) (5),在三角形MGN中,由余弦定理,
cos(角MGN)=[3+1-2]/[2*1*根号3]= 2/[2根号3] = 1/根号3 = (根号3)/3