Question

f(x)的定义域为[0,3]，求f(x-1)的定义域

1.f(x)的定义域为[0,3]，求f(x-1)的定义域
2.若f(x-1)的定义域为[-√3,√3],求f(x)的定义域
3.①若对任意x∈R,都有f(x)-2f(-x)=9x+2，求f(x)
②已知f(1+2x)=x²-4x-1,求f(3-4x)
4. 已知f(x)是二次函数，且f(2x)+f(3x+1)=13x²+6x-1,求f(x)

要过程详解，谢谢
1.①f(x)的定义域为[0,3]，求f(x-1)的定义域
②若f(x-1)的定义域为[-√3,√3],求f(x)的定义域
2.若对任意x∈R,都有f(x)-2f(-x)=9x+2，求f(x)
3.①已知f(3x)=2x^2-1,求f(x)
②已知f(1+2x)=x²-4x-1,求f(3-4x)
4. 已知f(x)是二次函数，且f(2x)+f(3x+1)=13x²+6x-1,求f(x)

Answer 1

解：
1.f(x)的定义域为[0,3]，f(x-1)的定义域[0-1,3-1]，即[-1,2]
2.若f(x-1)的定义域为[-√3,√3],f(x)的定义域[-√3+1,√3+1]
3.①若对任意x∈R,都有f(x)-2f(-x)=9x+2，说明f(x)是一次函数，设f(x)=kx+b，则f(x)-2f(-x)=3kx-b
3k=9，k=3，b=-2，所以f(x)=3x-2
②已知f(1+2x)=x²-4x-1,先设f(x)=ax²+bx+c，f(1+2x)=a(1+2x)²+b(1+2x)+c=4ax²+(4a+2b)x+a+b+c
由4a=1得a=1/4，由4a+2b=-4得b=-5/2，由a+b+c=-1得c=5/4，所以f(x)=x²/4-5x/2+5/4
所以f(3-4x)=(3-4x)²/4-5(3-4x)/2+5/4=4x²+4x+11/4
4. 已知f(x)是二次函数，且f(2x)+f(3x+1)=13x²+6x-1,设f(x)=ax²+bx+c
f(2x)+f(3x+1)=a(2x)²+b(2x)+c+a(3x+1)²+b(3x+1)+c=13ax²+(5b+6a)x+a+b+2c
由13a=13得a=1，由5b+6a=6得b=0，由a+b+2c=-1得c=-1，因此f(x)=x²-1

追问

已知f(3x)=2x^2-1,求f(x)
怎么做呢？

Answer 2

1.0小于等于x-1小于等于3 ,所以0+1小于等于x小于等于3+1，即1小于等于x小于等于4
2.同上[1-√3，1+√3]
3.（1）若为偶函数，f(x)=-9x-2:若为奇函数，f(x)=3x+2/3
(2)设2x+1=t,x=t/2-1/2,f(t)=(t^2)/4-5/2t+1/2,f(3-4x)=4x^2-6x+19/4
4.设f(x)=ax^2+bx+c,将f(2x)+f（3x+1）代入，得a=1,b=0,c=-1,f(x)=x^2-1

Answer 3

1.0<=x-1=<3 [1,4]
2.[1-根3,1+根3]
3.（1）若为偶函数，f(x)=-9x-2:若为奇函数，f(x)=3x+2/3
(2)设2x+1=t,x=t/2-1/2,f(t)=(t^2)/4-5/2t+1/2,f(3-4x)=4x^2-6x+19/4
4.设f(x)=ax^2+bx+c,将F(2x)+F（3x+1）代入，得a=1,b=0,c=-1,f(x)=x^2-1