Question

求解一道数学题，急用，谢谢！

已知F(X)是定义在【-1,1】闭区间上的奇函数，且F(1)=1，若对于任意的m,n属于【-1,1】且m+n不等于0时都有{f(m)+(n)}/{6m+n}>0成立。（1）。判断F(X)在[-1,1]上的单调性并证明。（2)若F(X)小于等于t的平方-2at+1对于所有的a属于【-1，1】都成立，求实数t的取值范围？

Answer 1

因为，f(x)在[-1,1]上是奇函数，所以有：f(-x)=f(x)，
设x1<x2属于[-1,1]所以，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)，
又因为[f(m)+f(n)]/(m+n)>0，
所以
[f(x1)+f(-x2)]/x1-x2>0,
又因为x1-x2<0，所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2)，
所以f(x)在[-1,1]上是增函数。

所以f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)=1.
若f(x)<=t^2-2at+1对所有x属于[-1,1]恒成立，
只需f(1) <=t^2-2at+1，即t^2-2at>=0,
设g(a)= t^2-2at,
这是关于a的一次函数，它的最小值必定在端点处取到。
所以t^2-2at>=0对所有a属于[-1,1]恒成立，
只需g(1)>=0,g(-1)>=0,
即t^2-2t>=0, t^2+2t>=0
解得t≥2或t≤-2或t=0.