Question

已知函数f(x)=(a^x+a^(-x))/2,g(x)=(a^x-a^(-x))/2(其中a>0,且a≠1)。

(1)由5=2+3，请你探究g(5)能否用f(2)，g(2),f(3),g(3)来表示；
(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广。
写一下详细过程详细

Answer 1

（1）g(5)={[f(2)+g(2)]*[f(3)+g(3)]-[f(2)-g(2)]*[f(3)-g(3)]}/2
（2）若k=m+n，
则g(k)={[f(m)+g(m)]*[f(n)+g(n)]-[f(m)-g(m)]*[f(n)-g(n)]}/2

证明如下：
f(m)+g(m)=a^m，f(n)+g(n)=a^n，所以：[f(m)+g(m)]*[f(n)+g(n)]=a^m*a^n=a^(m+n)=a^k；

f(m)-g(m)=a^(-m)，f(n)-g(n)=a^(-n)，所以：[f(m)-g(m)]*[f(n)-g(n)]=a^(-m)*a^(-n)=a^(-k)；

所以：{[f(m)+g(m)]*[f(n)+g(n)]-[f(m)-g(m)]*[f(n)-g(n)]}/2=[a^k-a^(-k)]/2=g(k)

同理：f(k)={[f(m)+g(m)]*[f(n)+g(n)]+[f(m)-g(m)]*[f(n)-g(n)]}/2

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！