Question

已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合） （1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD

Answer 1

（1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；
（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；
（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C′，使得∠APF=∠BPC′，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′，连接FC′，取FC′的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．（1）FG∥CE，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，由题意得
∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°
∴∠GEC=90°
∴∠G=∠GEC
∴FG∥CE．

（2）GH=EH．
延长GH交CE于点M，由（1）得，FG∥CE
∴∠GFH=∠MCH
∵H为CF的中点
∴FH=CH
又∵∠GHF=∠MHC
∴△GFH≌△MHC
∴GH=HM= 12GM，
∵∠GEC=90°
∴EH= 12GM
∴GH=EH．

（3）（2）中的结论还成立．
取PF的中点M，PC'的中点N
∵∠FGP=90°，M为PF的中点
∴ GM=12PF， PM=12PF，HM∥PC'
∴GM=PM
∴∠GPF=∠MGP
∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF
∵H为FC'的中点，M为PF的中点
∴ HM=12PC′
同理 HN=12PF， EN=12PC′，HN∥PF，∠ENC'=2∠EPC'
∴GM=HN，HM=EN
∵∠GPF=∠FPA，∠EPC'=∠BPC'
又∵∠BPC'=∠FPA
∴∠GPF=∠EPC'
∴∠GMF=∠ENC'，
∵HM∥PC'，HN∥PF
∴四边形HMPN为平行四边形
∴∠HMF=∠HNC'
∴∠GMH=∠HNE
∵GM=HN，HM=EN
∴△GMH≌△HNE
∴GH=HE．