Question

高等数学连续函数的问题！

求详细解释红笔画的地方

Answer 1

第一个函数叫做狄利克雷函数，它在任意一点处都没有极限，利用归结原则可证明。所以任意一点都是它的第二类间断点。
对于第二个函数，有lim（x→0）f（x）=0=f（0）所以它在点x=0处连续。利用归结原则可证明它在其余点处不存在极限。

追问

归结原理是什么？？？就采纳你的答案了，你再说清楚点，第二类间断点不是需X0处左右极限至少有一点的极限不存在吗？但我看上面这两个函数两个左右极限都存在样的。。。

追答

归结原理：函数f（x）在点x=x0处存在极限的充分必要条件为对任意满足limxn=x0且xn≠x0的数列{xn}，数列{f（xn）}的极限都存在且相等。
第二类间断点是需X0处左右极限至少有一点的极限不存在。利用上面的归结原理可以证明第一个函数在任意一点的左右极限都不存在，第二个函数在除x=0以外的任意一点都不存在极限

追问

但是第一个函数是某一任意点都有值啊，左右极限不都是存在的吗？只是左右极限不相等而已，而第二个函数，为什么零点有极限，零点左右不就是无理数吗？为什么连续？左右极限不相等啊。谢谢

追答

有函数值不代表极限存在。第一个函数在任意一点都不存在左右极限。设a是任意一个实数，数列{x'n}满足x'n∈Q，x'n＜a且limx'n=a，则有limf（x'n）=1.再取另一数列{x"n}满足x"n∈Q补（即无理数集），x"n＜a且limx"n=a，则有limf（x"n）=0，两个极限不相等，故由归结原则，f（x）在点x=a处不存在左极限。同理也不存在右极限。
对于第二个函数，它在点x=0处连续。对任意正数ε，取δ=ε，当|x-0|＜δ时，有|f（x）-f（0）|=|x|＜ε，所以f（x）在点x=0处连续。