一个高阶导数的问题
证明:函数f(x)是n次多项式,a是f(x)=0的k重根的充要条件是:f(a)=f‘(a)=f‘’(a)=······=f(a)的(k-1)阶倒数=0(k<=n)但是f(...
证明:函数f(x)是n次多项式,a是f(x)=0的k重根的充要条件是:f(a)=f ‘(a)=f ‘ ’(a)=······=f(a)的(k-1)阶倒数=0 (k<=n)但是f(a)的k阶导数不为0.
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2014-02-21
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充分性f(a)=0 则f(x)可以表示为f(x)=g1(x)*(x-a) , g1(x)是n-1次多项式求导f '(x)=g1'(x)(x-a)+g1(x) 代入x=af '(a)=g1(a)=0 则g1(x)可以表示为g1(x)=g2(x)*(x-a) g2(x)是n-2次多项式所以f(x)=g2(x)*(x-a)^2以此类推f(a)的(k-1)阶倒数=0 可得f(x)=gk(x)*(x-a)^k gk(x)是n-k次多项式f(a)的k阶导数不为0. 可知gk(a)不等于0所以x=a是f(x)的k重根必要性x=a是f(x)的k重根则f(x)必然可以写成f(x)=g(x)*(x-a)^k 形式, 其中g(x)是n-k次多项式 且g(a)不等于0求导f '(x)=g'(x)(x-a)^k+g(x)*k(x-a)^(k-1)f"(x)=g"(x)(x-a)^k+2g'(x)*k(x-a)^(k-1)+g(x)*k(k-1)(x-a)^k-2...f(x)的(k-1)阶导=g的k-1阶导*(x-a)^k+k*g的k-2阶导*k(x-a)^(k-1)+k(k-1)*g的k-3阶导*k(k-1)(x-a)^k-2+......+g(x)*k*(k-1)*(k-2)*...*1*(x-a)把x=a代入,可知f(a)=f ‘(a)=f ‘ ’(a)=······=f(a)的(k-1)阶倒数=0(因为每一项都含有(x-a))而f(x)的k阶导数最后一项会出现 g(x)*k*(k-1)*(k-2)*...*1 又g(a)不等于0所以f(a)k阶导数不为0原命题得证
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2014-02-21
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函数f(x)是n次多项式设其一次项系数为m1,二次项系数为m2,……n次项系数为mn,常数项为m0。 充分性:函数f(x)是n次多项式∵f(a)= 0∴f(x)中必存在因式(x-a)设其余式为f1(x)即: f (x) = (x-a) × f1(x)f'(x)=[(x-a)×f1(x)]' =f1(x) +(x-a) f1'(x)x=a时,f'(a)=0∴f1(a) +(a-a) f1'(a)= 0即:f1(a)= 0所以f1(x)中必存在因式(x-a)以此类推,到fk-1(x)中,同样必有因式(x-a)设其余式为fk(x)即 f (x) = (x-a) ^k× fk(x) f(a)的k阶导数 =[(a-a) ^k × fk(a)] 的K阶导数 其中,只有fk(a)项中不含(a-a)∴fk(a)≠0∴f(x)中,只含k个(x-a)的因式,∴a是f(x)=0的k重根 必要性:函数f(x)是n次多项式∵a是f(x)=0的k重根∴f(a)=0∴f(x)中必含有因式(x-a)^k设其余式为fk(x)即:f(x)= fk(x) ×(x-a)^k 必有:fk(x)中不含有因式(x-a)两边求导有:f'(x)= f'k(x) ×(x-a)^k + fk(x) ×k(x-a)^(k-1)显见,x=a时x-a=0,∴ f'(a)=0以此类推,到f(x)的(k-1)阶导数中,每项都有因式(x-a),所以直到f(x)的(k-1)阶导数,都等于0只有f(x)的k阶导数中,含有fk(x)一项,此项不为0∴f(x)的k阶导数≠0 此条件同时具有充分性和必要性,因此为充要条件,证毕
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