Question

一个高阶导数的问题

证明：函数f（x）是n次多项式，a是f（x）=0的k重根的充要条件是：f（a）=f ‘（a）=f ‘ ’（a）=······=f（a）的（k-1）阶倒数=0 （k<=n）但是f（a）的k阶导数不为0.

Answer 1

充分性f(a)=0 则f(x)可以表示为f(x)=g1(x)*(x-a) ， g1(x)是n-1次多项式求导f '(x)=g1'(x)(x-a)+g1(x) 代入x=af '(a)=g1(a)=0 则g1(x)可以表示为g1(x)=g2(x)*(x-a) g2(x)是n-2次多项式所以f(x)=g2(x)*(x-a)^2以此类推f（a）的（k-1）阶倒数=0 可得f(x)=gk(x)*(x-a)^k gk(x)是n-k次多项式f（a）的k阶导数不为0. 可知gk(a)不等于0所以x=a是f（x）的k重根必要性x=a是f（x）的k重根则f（x）必然可以写成f(x)=g(x)*(x-a)^k 形式， 其中g(x)是n-k次多项式 且g(a)不等于0求导f '(x)=g'(x)(x-a)^k+g(x)*k(x-a)^(k-1)f"(x)=g"(x)(x-a)^k+2g'(x)*k(x-a)^(k-1)+g(x)*k(k-1)(x-a)^k-2...f（x）的（k-1）阶导=g的k-1阶导*(x-a)^k+k*g的k-2阶导*k(x-a)^(k-1)+k(k-1)*g的k-3阶导*k(k-1)(x-a)^k-2+......+g(x)*k*(k-1)*(k-2)*...*1*(x-a)把x=a代入，可知f（a）=f ‘（a）=f ‘ ’（a）=······=f（a）的（k-1）阶倒数=0（因为每一项都含有(x-a)）而f（x）的k阶导数最后一项会出现 g(x)*k*(k-1)*(k-2)*...*1 又g（a）不等于0所以f（a）k阶导数不为0原命题得证

Answer 2

函数f（x）是n次多项式设其一次项系数为m1，二次项系数为m2，……n次项系数为mn，常数项为m0。 充分性：函数f（x）是n次多项式∵f（a）= 0∴f（x）中必存在因式（x-a）设其余式为f1(x)即： f (x) = (x-a) × f1(x)f'（x）=[（x-a）×f1（x）]' =f1（x） +（x-a） f1'（x）x=a时，f'（a）=0∴f1（a） +（a-a） f1'（a）= 0即：f1（a）= 0所以f1（x）中必存在因式（x-a）以此类推，到fk-1（x）中，同样必有因式（x-a）设其余式为fk（x）即 f (x) = (x-a) ^k× fk(x) f（a）的k阶导数 =[(a-a) ^k × fk(a)] 的K阶导数 其中，只有fk(a)项中不含（a-a）∴fk(a)≠0∴f(x)中，只含k个（x-a）的因式，∴a是f（x）=0的k重根 必要性：函数f（x）是n次多项式∵a是f（x）=0的k重根∴f（a）=0∴f（x）中必含有因式（x-a）^k设其余式为fk（x）即：f（x）= fk（x） ×（x-a）^k 必有：fk（x）中不含有因式（x-a）两边求导有：f'（x）= f'k（x） ×（x-a）^k + fk（x） ×k（x-a）^（k-1）显见，x=a时x-a=0，∴ f'（a）=0以此类推，到f（x）的（k-1）阶导数中，每项都有因式（x-a），所以直到f（x）的（k-1）阶导数，都等于0只有f（x）的k阶导数中，含有fk（x）一项，此项不为0∴f（x）的k阶导数≠0 此条件同时具有充分性和必要性，因此为充要条件，证毕