Question

设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x)*f（y），且当x>0时，恒有f（x）>1,若f（1）=2

（1）求f(0);
（2）求证：x∈R时f（x）为单调递增函数;
（3）解不等式f(3x-x^2)＞4.

Answer 1

(1)令x=1,y=0,代入得f(1)=f(1)*f(0)，2=2*f(0),f(0)=1
(2)令y=-x,代入得f(0)=f(x)*f(-x),f(x)*f(-x)=1 1
再令x1>x2>0,则f(x1-x2)=f(x1)*f(-x2)
运用1式结果得， f(x1-x2）=f(x1)/f(x2) ，由于x1>x2，所以x1-x2>0,所以f(x1-x2)>1
所以f(x1)/f(x2)>1 ，所以f(x1)>f(x2)
(3) 4=f(1)*f(1)=f(2)
所以原不等式变为f(3x-x^2)>f(2),由于单调增则3x-x^2>2，解之得1<x<2

Answer 2

(1) f(1)=f(0+1)=f(0)*f(1)=2 =>f(0)=1
(2) 令x>0,f(0)=f(-x+x)=f(-x)*f(x) =>f(-x)=1/f(x)
所以，当x<0时，f(x)∈(0,1).
令x，y>0时，不防设x>y,则x-y>0
f(x)-f(y）=f(y+x-y)-f(y)=f(y)*f(x-y)-f(y)=f(y)*(f(x-y)-1)>0
所以，此时f(x)是单调增函数
易知，当x<o,时，也是增函数
综上，当x∈R时，单调递增
（3）f(2)=4,下面就很容易了，自己算吧

Answer 3

1 f(0+1)=f(0)*f(1) 即2=f（0）*2 F(0)=1

2 设x>0,f(x+(-x))=f(x)*f(-x)=f(0)=1
因为x>0,f(x)>1>0,所以f（-x）>0, 即对 x∈R,f(x)>0
设y>0，x∈R，f(X+Y)-f(x)=f(X)f(Y)-f(x)=f(x)(f(y)-1)>0
得证。
3. f(1+1)=f(1)*f(1)=4
又单调，所以3x-x^2>2,解出即可。