Question

如图所示，已知在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，DE垂直AB，DF垂直AC，求证：AD垂直EF

Answer 1

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠DEA=∠DFA=90度，
∵∠EAD=∠FAD，（平分角）
∴△AED≌△AFD，（角，角，公共边），AE=AF，∴△AEF是等腰三角形。
∴AD⊥EF（等腰三角的顶角平分线垂直底边）证毕。

Answer 2

证明：∵AD是角BAC的平分线
∴DE=DF
∴AE=√AD²-DE²
AF=√AD²-DF²
∴AE=AF
而AD是角BAC的平分线
∴AD⊥EF(等腰三角形三线合一）

Answer 3

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90度（垂直的定义），
∵∠EAD=∠FAD，（平分角）
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形。
∵等腰三角的顶角平分线垂直底边(三线合一)
∴AD⊥EF

Answer 4

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠DEA=∠DFA=90度，
∵∠EAD=∠FAD，（平分角）
∴△AED≌△AFD，（角，角，公共边），AE=AF，∴△AEF是等腰三角形。
∴AD⊥EF（等腰三角的顶角平分线垂直底边）