Question

已知{an}，{bn}都是各项为正数的数列，都有an,bn^2,an+1成等差数列 ；bn^2，an+1，bn+1^2成等比数列

已知{an}，{bn}都是各项为正数的数列，都有an,bn^2,an+1成等差数列 ；bn^2，an+1，bn+1^2成等比数列, 若a1=1,b1=根号2,求sn=1/a1+1/a2+…1/an

Answer 1

∵bn²，a(n+1)，b(n+1)²成等比数列
∴bn² × b(n+1)²= a(n+1)²
∵bn＞0， b(n+1)＞0， a(n+1)＞0
∴bn × b(n+1) = a(n+1)……①
∴b(n-1)×bn = an……②
∵an,bn²,a(n+1)成等差数列。
∴2bn²=an+a(n+1)……③
把①②带入得，2bn²=b(n-1)×bn + bn × b(n+1)
约去bn，得，2bn=b(n-1) + b(n+1)，n≥2
∴数列{bn}是等差数列。
∵a1=1,b1=√2，由③得，a2=3
再由①，得b2=3/√2 = 3√2/2
∴公差d=b2-b1=√2/2
∴bn=b1+(n-1)d=√2+ (√2/2)(n-1)=(√2/2)(n+1)
∴b(n-1)=(√2/2)n
由②，得：an=n(n+1)/2
∴sn=1/a1+1/a2+……1/an
=2/(1×2) + 2/(2×3) + …… + 2/[n×(n+1)]
=2[1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+……+(1/n)-1/(n+1) ]
=2[1 - 1/(n+1)]
=2n/(n+1)