Question

数学题 高一必修一 函数单调性和增减性

1.设F(X)定义域实数集上当X>0时F(X)>1且对于任意实数x,y有f(x+y)=f(x)f(y) 求证其在R上为增函数
2.已知函数F(X)的定义域为R对于任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)且当x>0时f(x)<0,f(1)=-2 试判断F(X)在[-3,3)上是否有最大值和最小值？
如果有就求出来没就有算了

一道题10分对了我能看懂的话再加5分

Answer 1

(1)
当 x=0,y=1时,
∵f(x+y)=f(x)f(y) ∴f(0+1)=f(1)=f(0)f(1)
∵ 当x>0,f(x)>1 即f(1)≠0 ∴f(0)=1
设x>y>0, 则
f(x)-f(y)=

想ing
有否抄错题？例 f(x+y)=f(x)f(y)是否f(x+y)=f(x)-f(y) 【中间是减不是乘】

追问

就是乘

追答

2.已知函数F(X)的定义域为R对于任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)且当x>0时f(x)f(x)是奇函数

设在[0,3)内有x>y, 则x-y>0, f(x-y)<0 ,
f(x)-f(y)=f(x)-f[x+(y-x)]=f(x)-[f(x)+f(y-x)]=-f(y-x)=f(x-y)<0
即f(x)在[0,3)内是减函数,
因为使奇函数(原点对称),所以在[-3,3)内是减函数
所以
最大值 x=-3时
f(-3)=-f(3)
=-f(1+2)
=-[f(1)+f(2)]
=-[-2+f(1+1)]
=2-[f(1)+f(1)]
=2-[-2-2]
=6

Answer 2

我来努力……！

追问

快点啊

Answer 3

2
结论：f(x)=-2x，所以在[-3,3)上有最大值6，没有最小值。

1) 当x是整数时f(x)=-2x。
首先，由f(0+0)=2f(0)得到f(0)=0。
由f(0)=f(a-a)=f(a)+f(-a)得到f是奇函数。
对正整数n有f(na)=f(a)+f(a)+...+f(a)=nf(a)，f(-na)=-f(na)=-nf(a)。
故对一切整数有f(x)=-xf(-1)=-2x。

2) 当x是有理数时f(x)=-2x。
设x=p/q，p和q都是非零整数，那么qf(x)=f(qx)=f(p)=-2p，从而f(x)=-2p/q=-2x。

Cauchy方法只能证明到有理数这一步，下一步就需要用到诸如“x>0时f(x)<0”这样的条件来延拓到无理数。
3) 当x是无理数时f(x)=-2x。
假定存在无理数t使得f(t)!=-2t，不妨设f(t)<-2t(否则考察-t即可)，令
u=-(f(t)+2t)/2>0，那么在(t,t+u)之间的任何有理数w满足0<w-t<u，从而
f(w)=-2w=-2t+2(t-w)>-2t-2u=f(t)
推出f(w-t)=f(w)-f(t)>0，矛盾。

1.设x1〉x2，所以x1-x2〉0，
f(x1)=f[(x1-x2)+x2]= f (x1-x2)Xf(x2),
根据已知当x>0时,f(x)>1,所以f (x1-x2) >1（因为x1-x2〉0）
所以f（x1）〉f（x2），
∴f(x)在R上为增函数

追问

对不起我没看懂啊这个有些符号我都不认识啊！不过谢谢了

Answer 4

1.取x=y=0，则f(x+y)=f(0)=f^2(0),f(0)=0或1，设f(0)=0,当x>0时，f(x+0)=f(x)f(0)=0与条件矛盾，所以f(o)=1；
令x>0,则f(x+(-x))=f(x)f(-x)=1,所以f(-x)=1/f(x)>0;所以在R上f(x)>0;
令y为任一正数，则由条件f(x+y)/f(x)=f(y)>1,所以f(x+y)>f(x);由x+y>x即y的任意性知在R上f为增函数。
2.由条件知f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0;f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,f(x)=-f(-x);即f(x)为奇函数,只讨论x>0即可；
对a>b>0,有f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(a-b)<0,即f在x>0上递减，所以f在R上递减；
f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-6;f(-3)=-f(3)=6;
所以在[-3,3）上有最大值6，没有最小值。

追问

对不起我没看懂 不过谢谢了

追答

没事，好好想想