Question

已知向量a=(cosa，1+sina)，b=(1+cosa，sina)

已知向量a=(cosa，1+sina)，b=(1+cosa，sina).
（1）若l a+b l=√3，求sin2a的值
（2）设c=(-cosa，-2)，求(a+c)·b的取值范围
详解，O(∩_∩)O谢谢！

Answer 1

解：
(1)
∵向量a=(cosα，1+sinα)，向量b=(1+cosα，sinα)
∴向量a·向量b=cosα(1+cosα)+sinα(1+sinα)=sinα+cosα+(sinα)^2+(cosα)^2=sinα+cosα+1
|向量a|=√[(cosα)^2+(1+sinα)^2]=√[(cosα)^2+1+2sinα+(sinα)^2]=√(2+2sinα)
|向量b|=√[(1+cosα)^2+(sinα)^2]=√[1+2cosα+(cosα)^2+(sinα)^2]=√(2+2cosα)
∵|向量a+向量b|=√3
∴(向量a+向量b)^2=3
∴|向量a|^2+|向量b|^2+2向量a·向量b=3
∴(2+2sinα)+(2+2cosα)+(sinα+cosα+1)=3
∴3sinα+3cosα+5=3
∴sinα+cosα=-2/3
∴(sinα+cosα)=4/9
∴(sinα)^2+(cosα)^2+2sinαcosα=4/9
∴1+2sinαcosα=4/9
∴2sinαcosα=-5/9
∴sin(2α)=2sinαcosα=-5/9.
(2)
∵向量c=(-cosα，-2)，向量a=(cosα，1+sinα)，向量b=(1+cosα，sinα)
∴(向量a+向量c)·向量b=(0，sinα-1)·(1+cosα，sinα)=(sinα)^2-sinα=(sinα-1/2)^2-1/4
∵sinα∈[-1，1]
∴[(sinα-1/2)^2-1/4]∈[-1/4，2].
∴(向量a+向量c)·向量b的取值范围是[-1/4，2].

Answer 2

1.(a+b)^2=(1+2cosA)^2+(1+2sinA)^2
=2+4(cosA)^2+4(sinA)^2+4cosA+4sinA
=6+4(cosA+sinA)=3
cosA+sinA=-3/4
sin2A=(cosA+sinA)^2-1=-7/16 2. ∵c=(-cosα，-2)，a=(cosα，1+sinα)，b=(1+cosα，sinα)
∴(a+c)·b=(0，sinα-1)·(1+cosα，sinα)=(sinα)^2-sinα=(sinα-1/2)^2-1/4
∵sinα∈[-1，1]
∴[(sinα-1/2)^2-1/4]∈[-1/4，2].
∴(a+c)·b的取值范围是[-1/4，2].