Question

已知f(x)是定义域在区间【-1,1】上的奇函数，且f(1)=1.当a.b∈【-1,1】且a+b≠0时，

都有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0.
（1）.判断函数f(x)在其定义域上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

Answer 1

f(x)在定义域内为增函数
设x1>x2,x1,x2都属于【-1,1】
由于f（x）为奇函数，f(-x)=-f(x),f(0)=0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2);
由于[f(a)+f(b)]/(a+b)>0
得出[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)>0 -x2∈[-1,1]
由于x1-x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)为增函数

Answer 2

设任意x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则x1+(-x2)<0,于是已知条件可知[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)=[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)>0,
因为x1-x2<0,所以,f(x1)-f(x2)<0,
因此,f(x)是在区间[0,1]上单调递增.
再由f(x)是[-1,1]上的奇函数可知,f(x)是在区间[-1,0]上也单调递增.
从而f(x)在[-1,1]上单调递增.