Question

一道高中数学立体几何题

我想知道 为什么球心O到平面PMN的距离是 C到平面PMN的距离的1/4

Answer 1

可以用共面四面体体积之比等于高之比的方法！
设整个四面体体积为1，则四面体CPMN体积为1/4
再取AB中点D连接DM、DN。形成中间的四面体PMND。则四面体PMND体积也为1/4。
球心O与P、M、N、D四点相连。形成四个四面体OPMN、OPMD、OPND、OMND。
这四个四面体体积相等。所以四面体OPMN体积为 四边形PMND即四边形PCMN体积的1/4
有因为四面体OPMN和四边形PCMN共底面PMN，所以球心O到平面PMN的距离是 C到平面PMN的距离的1/4
不懂可以追问，本人今年大二，以前也有过高中做题做不出来就很急的时候。我尽力帮忙。

追问

形成四个四面体OPMN、OPMD、OPND、OMND。
这四个四面体体积相等
这是为什么

追答

因为四面体PABC是个球内接四面体，所以球心O到四个面距离相等。所以四面体OABC体积为四面体PABC的1/4。
又四面体OMND体积是四面体OABC的1/4，且四面体PMND和四面体OABC相等。
所以四面体OMND体积是四面体PMND的1/4。
其他三个四面体OPMN、OPMD、OPND体积相等，因为O到三个面PMN、PMD、PND距离相等

所以四个四面体OPMN、OPMD、OPND、OMND体积相等