Question

已知f（x）是定义在R上的增函数，对x有f（x）大于0，f（5）等于1，设F(x) 等于f(x)+1/f(x),求F(x)的单调性

要证明

Answer 1

设x1>x2，f(x1)=m,f(x2)=n
有 F(x1)-F(x2)=[f(x1)+1/f(x1)]-[f(x2)+1/f(x2)]=(m+1/m)-(n+1/n)
=(m-n)+(1/m-1/n)
=(m-n)-(m-n)/(mn)
=(m-n)(1-1/mn)
∵f(x)>0且m>n,∴m-n>0
∵ f(5)=1且f(x)是增函数
∴
当 x<5时,1>f(x1)>f(x2)>0, 此时 1/mn>1 ==>(1-1/mn)<0, f(x)是减函数
当 x>5时,f(x1)>f(x2)>1, 此时 1/mn<1 ==>(1-1/mn)>0, f(x)是增函数