Question

已知函数f(x)=x³+ax²+3bx+c(b＜0),且g(x)=f(x)-2是奇函数

①求a,c的值
②求函数f(x)的极值
③若函数f(x)与x轴有三个交点，求b的取值范围
第三问要详细过程，谢谢！！！

Answer 1

1.解：因为g（x）=f（x）-2=x^3+ax^2+3bx+c-2是奇函数，所以有
g（-x）=（-x)^3+a(-x)^2+3b(-x)+c-2=-g(x)=-(x^3+ax^2+3bx+c-2)对于任意x恒成立，所以有
a=0，c=2，所以有g（x）=x^3+3bx；
2.因为函数的导数f‘（x）=3x^2+3b=0，所以当b＞0时，函数f(x)无极值，当b=0时，极值=2；
当b＜0时，极值=2±2根号（-b）
3.函数f（x)于x轴有3个交点，那么导数f’（x）有两个极值，即由上面可知b＜0时才满足条件

追问

为什么函数f（x)于x轴有3个交点时导数f’（x）有两个极值？？

追答

因为函数是连续的曲线，曲线于x轴有3个交点，那么曲线就应该有两个拐点，即两个极值（你可以自行画图就可知）