Question

用定义法证明此函数的单调性 : f(x)=根号下√x²+1 -x

要求：用x1<x2，f(x1)-f(x2)的格式来证
令问：此题可以用结论法来判断嘛...
注：最后那个“-x” 不在根号里

Answer 1

设g(x)=x^2+1 -x,再设m>n
g(x)=x^2+1 -x=x^2-x+1/4+3/4=(x-1/2)^2+3/4 所以x的取值范围是全体实数
g(m)-g(n)=(m^2-m)-(n^2-n)=(m^2-n^2)-(m-n)=(m+n)(m-n)-(m-n)=(m-n)(m+n-1)
可见，g(x)的单调性由(m+n-1)决定
所以 当2x-1>0即 x>1/2时，g(x)为增函数； x<1/2时g(x)为减函数

因为 f(x)=√g(x) ,所以 f(x)与g(x)具有相同的单调性
所以 当x>1/2时，f(x)为增函数； x<1/2时f(x)为减函数

Answer 2

g(x)=√x²+1 -x
x1<x2
g(x1)-g(x2)=√x1²+1 -x1-(√x2²+1 -x2)
=√x1²+1-√x2²+1-(x1-x2)
=(x1^2-x2^2)/(√x1²+1+√x2²+1)-(x1-x2)
=(x1-x2)[(x1+x2)/(√x1²+1+√x2²+1)-1]
(x1+x2)/(√x1²+1+√x2²+1)<1
因此g(x1)-g(x2)>0
g(x)是减函数
你的题目是不是f(x)=sqrt(g(x))?
这样的话f(x)与g(x)单调性相同，也是减函数。

Answer 3

（1）X大于等于0时，F（X）=1，恒值函数
（2）X小于0时，F（X）=1-2X
设X1<X2<0, F(X1)-F(X2)=2(X2-X1)>0, 所以F（X）为单调减函数

Answer 4

=
有题可知， 所以x
取 且 ，则
= + = + = （ +1）=
（ ）
因为 所以 <0, <0而 >0
又因为 ，所以 <0
故 >0即 >
所以x 时 为减函数
同理可证x 时 为增函数