Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=,x有等根．

（1）求f（x）的解析式
（2）若F（x）=f（x）-f（-x），试判断F（x）的奇偶性，并证明你的结论。
要详细解答过程

Answer 1

1）因f(2)=4a+2b=0，故b=-2a，则f(x)=ax^2-2ax。若f(x)=ax^2-2ax=x有等解，即是ax^2-(2a+1)x=0有相同的根，则有(2a+1)^2=0，故a=-1/2,b=-2*(-1/2)=1，所以f(x)=-1/2x^2+x。
2）F(x)=f(x)-f(-x)=(-1/2x^2+x)-(-1/2x^2+x)=2x，则F(-x)=-F(x)，所以F(x)为奇函数。

Answer 2

(1) f(2) = 4a + 2b = 0, 2a + b = 0
f(x) = ax² + bx = x
ax² + (b-1)x =0
x(ax + b-1) = 0
其一个根为0，令一个根也为0，b-1=0， b=1； a = -1/2
f(x) = -x²/2 +x

(2) F(x) = f(x) - f(-x) = -x²/2 +x - [-(-x)²/2 -x]
= -x²/2 +x + x²/2 +x
= 2x
F(-x) = -2x = -F(x)
F(x)为奇函数