已知a,b,c,属于正实数,且a+b+c=1.求证(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)大于等于64
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(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)
=1+ (1/a+1/b+1/c) + (1/ab+1/bc+1/ca) +1/abc
=1+ (1/a+1/b+1/c) + (a+b+c)/abc +1/abc
=1+ (1/a+1/b+1/c) + 2/abc
其中由柯西不等式，
(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) > =(1+1+1)^2 = 9，
而a+b+c=1，所以(1/a+1/b+1/c) >= 9。
由几何不等式，
a+b+c=1 >= 3(abc)^1/3，
所以abc <= 1/27 1/abc >= 27，
因此
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=1+ (1/a+1/b+1/c) + 2/abc >= 1+9+2*27=64。
=1+ (1/a+1/b+1/c) + (1/ab+1/bc+1/ca) +1/abc
=1+ (1/a+1/b+1/c) + (a+b+c)/abc +1/abc
=1+ (1/a+1/b+1/c) + 2/abc
其中由柯西不等式，
(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) > =(1+1+1)^2 = 9，
而a+b+c=1，所以(1/a+1/b+1/c) >= 9。
由几何不等式，
a+b+c=1 >= 3(abc)^1/3，
所以abc <= 1/27 1/abc >= 27，
因此
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=1+ (1/a+1/b+1/c) + 2/abc >= 1+9+2*27=64。
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