Question

证明函数f（x，y）=根号下xy的绝对值在（0，0）点连续，其偏导在（0，0）处均存在，但函数在（

证明函数f（x，y）=根号下xy的绝对值在（0，0）点连续，其偏导在（0，0）处均存在，但函数在（0，0）不可微

Answer 1

√|xy|，当xy大于0，偏导数为1/2/sqrt(xy)*y（假如对x求导），而当xy小于0时，偏导数为-1/2/sqrt(xy)*y，因为当x=0时，左右导数都等于无穷大，因此连续。

而|xy|，当xy大于0时，偏导数为y（假如对x求导），而当xy小于0时，偏导数为-y，导数不同，因此不连续。

证明函数f(x,y)=sqrt(lxyl)在(0,0)点连续，偏导数存在,但在(0,0)点不可微根号(|xy|)<=根号(x^2+y^2)/2，故连续。利用定义，f对x的导数fx(0,0)＝lim(x趋于0）(f(x,0)-f(0,0))/(x-0)=0，f对y的导数fy(0,0)＝lim(x趋于0）(f(x,0)-f(0,0))/(x-0)=0，故偏导数存在。

几何含义

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

Answer 2

追问

谢谢你～解答的非常棒！