Question

求专家解答！数学分析里的。原题见下图！ 讨论：e的x次方=ax²（a>0）的实根个数及其所在区间。

Answer 1

我假定你对介值定理, 中值定理之类的基本结论已经很熟了, 只是不知道如何解题

利用单调性显然总有一个负根
想要估计得稍准一点的话注意到x<0时e^x<1, 这样可以把负根估计到区间(-a^{-1/2},0)里
当然, 这不太重要

对于正根的估计, 首先要知道最终e^x比ax^2增长要快得多
令f(x)=e^x-ax^2, 那么f(0)>0, f(+oo)>0, 未必存在正根

然后容易想象, a较大的时候会出现两个正根, a较小时没有正根, 当中有个临界点
这尽管不严格, 但有帮助, 要先有几何直观

接下来考虑临界点, 临界点是两根重合的时候, 此时应有f(x_0)=f'(x_0)=0, f''(x_0)>=0, 几何上就是说f并没有穿过x轴, 只是相切一下
解一下e^{x_0}-ax_0^2=e^{x_0}-2ax_0=0可得x_0=2, a=e^2/4, 把这个临界点记成a_0

所以接下来可以相信
(1) a=a_0 时有一个正根 x_0=2
(2) a<a_0 时没有正根
(3) a>a_0 时有两个正根, 分别在(0,2)和(2,+oo)上

当然, 尽管从图像上很直观, 理论上讲这些需要进一步证明
对于(1), 还需验证f''(2)>0, 所以2是唯一的极小值点, 也就得到x>0且x≠2时f(x)>0
对于(2,3), 考察g(x)=e^x-a_0x^2
由于f(x)=g(x)-(a-a_0)x^2
所以a<a_0时f(x)>0对于一切x>0成立, 即没有正根
a>a_0时, f(2)<0, 所以至少在(0,2)和(2,+oo)上各有一个正根
最后还得验证最多只有两根正根
用反证法, 如果至少有三个正根, 再加上一个负根就有四个实根, 反复用Rolle定理可得f'''至少有一个根, 但f'''=e^x>0, 矛盾

追问

谢了！