Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（-1,0）、B（1,0），一个顶点为H（2,0）

1）求椭圆E的标准方程；
2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP垂直MH，求t的取值范围。

Answer 1

1）因为它有一个顶点为（2，0），所以a=2，作焦点A,B连接y轴上的上顶点，记为AC,BC,一轴上的上顶点为C，因为三角形ACE全等于三角形BCE，所以AC=BC，又因为AC+BC=2a=4，由直角三角形ACE的性质，1^2+b^2=4,b^2=3所以，椭圆E的标准方程为x^2/4+y^2/3=1
2)MP*MH=0,设M=（c，d），（c-t，d）*（c-2，d）=0，c^2-2c-tc-2d+d^2=0,因为M在椭圆上，所以c^2/4+d^2/3=1,c在【-2，2】，d在【-3^0.5,3^0.5】上消去d，
化简得t=(c-6)/4,所以-2<t<-1