Question

高二数学,立体几何

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

证明PB⊥平面EFD
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Answer 1

PD垂直于面ABCD，那么PD垂直于DC，且PD=DC，三角形PDC是等腰直角三角形
又因为E是PC的中点，那么DE垂直于PC
又由题意可只BC垂直面PDC，那么BC垂直DE
DE垂直于PC，BC垂直DE
那么DE垂直面PBC，可知DE垂直PB
又EF垂直PB
那么PB垂直面EFD

Answer 2

PB垂直EF,只需证PB垂直DE即可，PB在面PDC上的射影为PC,DE垂直PC,则DE垂直PB.

Answer 3

由侧棱PD⊥底面ABCD，知PD⊥DC，PD⊥BC
因为PD=DC，则三角形PDC是等腰直角三角形，又因为E是PC的中点，那么DE⊥PC
由底面ABCD是正方形知BC⊥CD，则BC⊥平面PDC，那么BC⊥DE
因为DE⊥PC，BC⊥DE知DE⊥平面PBC,既得DE⊥PB
因为EF⊥PB那么PB⊥平面DEF，

Answer 4

证明：因为PD⊥底面ABCD 即PD⊥BC
又ABCD是正方形 BC⊥CD
所以 BC⊥面PDC 即BC⊥DE
PD=DC PD⊥DC E是PC的中点
DE⊥PC DE⊥BC DE⊥面PCB
所以DE⊥PB 又EF⊥PB
所以PB⊥平面EFD