Question

如图，P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF垂直于DC,PE垂直于BC，求证，AP垂直于EF.

Answer 1

证明：因为四边形ABCD是正方形
所以BD平分角ADC BD平分角ABC
做PG垂直于AD垂足为G
做PH垂直于AB垂足为H
所以PG=PE
PH=PF
因为PG垂直于AD PH垂直于AB
所以角AGP=90度 角AHP=90度
因为在四边形AGHP中AGP=90度 角AHP=90度 角HAG=90度
所以四边形AGHP为长方形
因为PG=PE PH=PF
所以长方形AGHP与长方形CEFP全等
所以AP=EF

Answer 2

证明:
延长AP交EF于点G 延长EP交AB于M,延长FP交AD于N
∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点
∴PM=PF,PN=PE
又AMPN为矩形.
∴AN=PM=PF
∵∠EPF=∠BAC=90°
∴△PEF≌△ANP
∴∠NAP = ∠PFE
又∠NPA=∠FPG(对顶角)
∠NAP +∠NPA=90°
∴∠PFE+∠FPG=90°
∴∠PGF=180°-(∠PFE+∠FPG)=90°
∴AP⊥EF

Answer 3

Answer 4

我也正想问这个问题···