Question

如果函数f(x)的定义域为(0,+∞）且f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y) 证明：f(x/y)=f(x)-f(y)

Answer 1

f(xy)=f(x)+f(y)
令x=x/y，有
f(x/y*y)=f(x/y)+f(y)
即f(x)=f(x/y)+f(y)
所以f(x/y)=f(x)-f(y)
等式成立

Answer 2

令 y=1.由 f(xy)=f(x)+f(y) 可得 f(x*1)=f(x)+f(1)=f(x)
所以 f(1)=0
令 y=(1/x). 则 f(x/x)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0
由上式可得 f(x)=-f(1/x)
同理 f(y)=-f(1/y)
同样可推得 f(1/y)=-f(y)
所以 f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)