Question

在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA垂直底面ABCD,PA=4,M为PA的中点。

问：（1）求异面直线PB与MD所成角的余弦值。

Answer 1

取BA的中点N，连结MN，DN，MN是△PAB中位线，MN//PB，则〈NMD就是异面直线PB和MD所成角，PA⊥平面ABCD，
而AB和AD在平面ABCD上，
故PA⊥AB，PA⊥AD，
△PAB和△PAD都是RT△，
根据勾股定理，ND=√5，MD=2√2，MN=√5，
在△MND中根据余弦定理，
cos<NMD=(MN^2+MD^2-ND^2)/(2*MN*MD)=√10/5。
异面直线PB与MD所成角的余弦值为√10/5。

Answer 2

不知道你会不会建系？！ 要是不会 用传统方法
填补法 因为四棱锥有一个直角 把它画成长方体ABCD-PEFG
然后把MD直线向上平移M点移到P点 D点移到DG中点为D’点
空间中可以构造一个三角形PD'B
根据勾股定理 因PG=2 D'为GD中点 得D'G=2 所以 PD'=2倍根号2
因PA=4 AB=2所以PB=2倍根号5
然后在三角形D'BD中DD'=2 DB=2倍根号2（DB是正方形的对角线） 然后勾股定理得出D'B=2倍根号3
最后用余弦定理 因为知道了 PD PB BD' 的长度 异面直线PB与MD所成角是角D'PB
COS∠D'PB=PD平方+PB平方-D'B平方/2PD*PB = √10/5