Question

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)的左右两个焦点分别为F1,F2,过右焦点F2……

且与x轴垂直的直线L与双曲线C相交，其中一个交点为M（√2,1）
1 求双曲线C的方程
2 设双曲线C的虚轴一个端点为B（0，-b)，求三角形F1BM的面积

Answer 1

解：（1）由题意可知双曲线的焦点在x轴上，且右焦点坐标为（√2,0）
则c=√2，a²+b²=2即a²=2-b² (1)
又点M（√2,1）在双曲线上，则将点M坐标代入双曲线方程可得：
2/a² -1/b²＝1 (2)
将(1)式代入(2)式可得：
2/(2-b²) -1/b²＝1
则2b²-2+b²=b²(2-b²)
移项整理得：
b^4 +b²-2=0
(b²+2)(b²-1)=0
解得b²=1 (b²=-2不合题意，舍去)
则a²=c²-b²=1
所以双曲线方程为x²-y²=1

（2）由第（1）小题可知双曲线C的虚轴一个端点为B（0，-1)，左焦点坐标为F（-√2,0）
则直线BF的方程为x/(-√2) +y/(-1)=1即x+√2y+√2＝0
而线段BF长|BF|=√3
点M（√2,1）到直线BF：x+√2y+√2＝0的距离：
d=|√2+√2+√2|/√3=√6
所以三角形F1BM的面积
＝(1/2)*|BF|*d
=(1/2)*√3*√6
=3√2/2

追问

我算的也是想x^2-y^2=1,觉得好奇怪，双曲线方程

追答

呵呵，双曲线中a，b的大小没有神马限制，当然如果a=b,那么此双曲线的实轴和虚轴等长，数学上定义它为等轴双曲线，易知这样的双曲线的离心率恒为√2