Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F。

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F。
（1）如图，①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE CF（2）如图，②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求：FE长。
要详细的过程哦，急急急~

Answer 1

(1)∵BE⊥AE
∴∠AEB=90°
∴∠ABE+∠BAE=90°
∵∠BAC=90°
∴∠CAF+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF
∵CF⊥AF
∴∠AEB=∠CFA=90°
∵AB=CA
∴△ABE ≌△CAF
∴AE=CF BE=AF
∴EF=AF+AE=BE+CF
(2)∵BE⊥AE
∴∠AEB=90°
∴∠ABE+∠BAE=90°
∵∠BAC=90°
∴∠CAF+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF
∵CF⊥AF
∴∠AEB=∠CFA=90°
∵AB=CA
∴△ABE ≌△CAF
∴AE=CF BE=AF
∴FE=AF-AE=BE-CF=10-3=7

Answer 2

（1） EF BC，∠EAB=∠FAC=∠ACF=∠EBA=45°△ABE 和△ACF
所以EF=BE CF
（2）∵BE⊥AE
∴∠AEB=90°
∴∠ABE+∠BAE=90°
∵∠BAC=90°
∴∠CAF+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF
∵CF⊥AF
∴∠AEB=∠CFA=90°
∵AB=CA
∴△ABE ≌△CAF
∴AE=CF BE=AF
∴FE=AF-AE=BE-CF=10-3=7

Answer 3

(1)解：∵BE⊥AE
∴∠AEB=90°
∴∠ABE+∠BAE=90°
∵∠BAC=90°
∴∠CAF+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF
∵CF⊥AF
∴∠AEB=∠CFA=90°
∵AB=CA
∴△ABE ≌△CAF
∴AE=CF BE=AF
∴EF=AF+AE=BE+CF
(2)解：∵BE⊥AE
∴∠AEB=90°
∴∠ABE+∠BAE=90°
∵∠BAC=90°
∴∠CAF+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAF
∵CF⊥AF
∴∠AEB=∠CFA=90°
∵AB=CA
∴△ABE ≌△CAF
∴AE=CF BE=AF
∴FE=AF-AE=BE-CF=10-3=7

Answer 4

（1） EF BC，∠EAB=∠FAC=∠ACF=∠EBA=45°△ABE 和△ACF
所以EF=BE CF
（2）7

Answer 5

(1)证明：在△BEA与△AFC中
∠BEA=90º=∠AFC，BA=AC，∠EAB=90º-∠FAC=∠FCA
∴ △BEA≌△AFC
∴ EA=CF，AF=BE
于是 EF=EA+AF=BE+CF
(2)此时EF=|BE-CF|
证明：(如图)不妨设BE>CF
与(1)同理可证△BEA≌△AFC
但 EF=FA-EA=BE-CF