Question

设f(x)在[a,b]上连续，且a<c<d<b,证明在[a,b]内必存在一点ξ使mf(c)+nf(d)=(m+n)f(ξ),其中m,n为自然数

Answer 1

已知f(x)在[a，b]上连续，且a<c<d<b，则f(x)在闭区间[a，b]上有最大值A和最小值B，可得：
mB+nB<=[mf(c)+nf(d)]<=mA+nA，B<=[mf(c)+nf(d)]/(m+n)<=A。

由闭区间上连续函数的介值定理知必有ξ在[a，b]中使得，[mf(c)+nf(d)]/(m+n)=f(ξ)，即mf(c)+nf(d)=(m+n)f(ξ)。

连续函数的性质：

如果一个函数在定义域中的某个点f（c）可微，则它一定在点c 连续。反过来不成立；连续的函数不一定可微。例如，绝对值函数在点c=0连续，但不可微。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

Answer 2

f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值，设为A与B, 则
mB+nB<=[mf(c)+nf(d)]<=mA+nA
故B<=[mf(c)+nf(d)]/(m+n)<=A
由闭区间上连续函数的介值定理知必有ξ在[a,b]中使得
[mf(c)+nf(d)]/(m+n)=f(ξ)
即mf(c)+nf(d)=(m+n)f(ξ)

Answer 3

f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值，设为A与B,
则
mB+nB<=[mf(c)+nf(d)]<=mA+nA
故B<=[mf(c)+nf(d)]/(m+n)<=A
由闭区间上连续函数的介值定理知必有ξ在[a,b]中使得
[mf(c)+nf(d)]/(m+n)=f(ξ)
即mf(c)+nf(d)=(m+n)f(ξ)

Answer 4

f(x)在[c,d]上连续，则有最大值m1和最小值m2，所以m2≤[mf(c)+nf(d)]/(m+n)≤m1，由介值定理，至少存在一点t∈[c,d]，使得f(t)＝[mf(c)+nf(d)]/(m+n)，即mf(c)+nf(d)＝(m+n)f(t)