Question

如图,在梯形ABCD中,DC平行AB,∠A+∠B=90°,已知AB=10,AD=4,DC=5,求梯形ABCD的面积

Answer 1

过D作DE//BC交AB于E
那么BCDE是平等四边形，DE=BC, <AED=<B
因为<A+<B=90度
那么<AED+<A=90度
于是，<ADE是直角
在直角三角形ADE中，AE=10-5=5，AD=4，那么DE=3
作DH垂直于AB垂足是H，那么DH是梯形的高。
根据直角三角形的射影定理，DH/DE=AD/AE
DH=12/5
所以梯形ABCD的面积S=1/2（5+10)*12/5=18
谢谢楼上的提醒，

Answer 2

分别作CE、DF垂直于AB
易得
AF+BE=5 ①
设高为h=DF=CE
因为∠A+∠B=90°
所以
tanA=ctgB
即h/AF=BE/h
h²=AF*BE ②
在Rt△AFD中
AF²+h²=AD²=16 ③
联立①②③，解得
h=12/5
S=1/2*（AB+CD）*h=18

楼上在射影定理之前都是对的，而且比较简单
但是射影定理一步出了问题

Answer 3

过C作CE∥AD交AB于E，过C作CF⊥AB于F，则四边形ABCD是□ABCD，易证△BCE是直角三角形，在直角△BCE中，利用勾股定理即可求得BC的长，利用三角形的面积公式求得CF的长，即梯形的高，根据梯形的面积公式即可求解．

解：过C作CE∥AD交AB于E，过C作CF⊥AB于F．

∵DC∥AB，

 

 

∴四边形ADCE是□ADCE，

∴CE=AD=4  AE=CD=5，∠CEB=∠A．

∵∠A+∠B=90°

∴∠ECB=90°

∴CB=

52-42

=3．

∵

12

CF•BE=

12

CE•CB，

∴CF=

125

∴S梯形ABCD=

12

（CD+AB）•CF=

12

（5+10）×

125

=18．

本题考查了梯形的面积的计算，正确作出辅助线，求得梯形的高是解题的关键． 

Answer 4

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Answer 5