如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC。点M是BC的中点,求证:DE=2AM
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2013-10-30
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延长AM至N,使MN=AM,则ABNC是平行四边形。(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
所以∠CAN=∠ANB(两直线平行内错角相等)
由已知得∠EAD+∠BAC=180°(由周角定义及AB⊥AE,AD⊥AC垂直定义)
△ABN中,
∠ABN+∠BAN+∠ANB=180°(三角形内角和定理)
所以
∠ABN+∠BAN+∠CAN=180°(等量代换)
即∠ABN+∠BAC=180°(等量代换)
又∠EAD+∠BAC=180°
所以∠ABN=∠EAD(同角的补角相等)
又BN=AC=AD,BA=AE
所以,△BNA≌△ADE(SAS)
所以,NA=DE(全等三角形对应边相等)
所以,2AM=DE(等量代换)
所以∠CAN=∠ANB(两直线平行内错角相等)
由已知得∠EAD+∠BAC=180°(由周角定义及AB⊥AE,AD⊥AC垂直定义)
△ABN中,
∠ABN+∠BAN+∠ANB=180°(三角形内角和定理)
所以
∠ABN+∠BAN+∠CAN=180°(等量代换)
即∠ABN+∠BAC=180°(等量代换)
又∠EAD+∠BAC=180°
所以∠ABN=∠EAD(同角的补角相等)
又BN=AC=AD,BA=AE
所以,△BNA≌△ADE(SAS)
所以,NA=DE(全等三角形对应边相等)
所以,2AM=DE(等量代换)
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