Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD。。。

（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；（2）当△APQ为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质。
专题：探究型。
分析：（1）假设存在一点P，使点Q与点C重合，再设AP的长为x，利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长，再在Rt△PCD中利用勾股定理即可求出x的值；
（2）连接AC，设BP=x，则AP=m﹣x，由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC，△APD∽△BQP，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式；
（3）连接DQ，把四边形PQCD化为两个直角三角形，再用m表示出PD及CQ的长，利用三角形的面积公式即可解答．
解答：解：（1）存在点P．
假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图1所示，设AP的长为x，则BP=10﹣x，
在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，
在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（10﹣x）2，
在Rt△PCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+（10﹣x）2，
解得x=2或8，
故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；

（2）连接AC，设BP=x，则AP=m﹣x，
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴ = ，即 = ①，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，
∴∠APD=∠BQP，
∴△APD∽△BQP，
∴ = ，即 = ②，
①②联立得，BQ= ；

（3）连接DQ，
设AP=x，由（1）知在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，
在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（m﹣x）2，
若△PQD为等腰三角形，则42+x2=42+（m﹣x）2，
解得x= ，
∵BQ= ，
∴CQ=4﹣ = ，
∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ，
即S= × × + × ×m= （m＞4）．

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