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已知B(-2,0),C(2,0),点A是Y轴正半轴上一点,CD⊥AC交Y轴于D,M为AC上一动点,N为AB延长线一动点,且满足AM+AN=2AC,MN交BC于E,连DE。...
已知B(-2,0),C(2,0),点A是Y轴正半轴上一点,CD⊥AC交Y轴于D,M为AC上一动点,N为AB延长线一动点,且满足AM+AN=2AC,MN交BC于E,连DE。(1)过M做MK⊥BC与K,求证:ME=NE,DE⊥MN.(2)在(1)条件下,BC分之EK的值是否发生变化,若不变,求其值
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(1)连接DM,DB,则纯世DN。
因为B(-2,0),C(2,0),点A在Y轴正半轴上,所以,AD垂直平分BC,
所裤粗以,AB=AC,DB=DC。
由AM+AN=2AC,有,(AC-CM)+(AB+BN)=2AC,所以,CM=BN。
由四边形ABDC的对称性和CD垂直AC可知,DB垂直AB,
所以,角DBN=角DCM=90度。
又因为DB=DC,BN=CM,所以,三角形DBN全等三角形DCM(SAS)
所以,DN=DM。
作MF平行AB交BC于F。
因为AB=AC,所以,角ABC=角ACB,
因为MF平行AB,所以,角MFC=角ABC,
所以,角MFC=角ACB,所以,MF=CM=BN。
因为MF平行AB,所以,角BNE=角FME,角NBE=角MFE,
所以,三角形BNE全等三角形FME,所以,ME=NE。
所以,DE⊥MN(等腰三角形底边上的中线与底边的高重合。)
(2)孙肢不变,BC/EK=2。
由(1)中三角形BNE全等三角形FME可得,BE=EF=1/2BF。
由MF=MC,MK⊥BC知,FK=KC=1/2CF。
所以,EK=EF+FK=1/2BF+1/2CF=1/2(BF+CF)=1/2BC。
所以,BC=2EK,BC/EK=2。
因为B(-2,0),C(2,0),点A在Y轴正半轴上,所以,AD垂直平分BC,
所裤粗以,AB=AC,DB=DC。
由AM+AN=2AC,有,(AC-CM)+(AB+BN)=2AC,所以,CM=BN。
由四边形ABDC的对称性和CD垂直AC可知,DB垂直AB,
所以,角DBN=角DCM=90度。
又因为DB=DC,BN=CM,所以,三角形DBN全等三角形DCM(SAS)
所以,DN=DM。
作MF平行AB交BC于F。
因为AB=AC,所以,角ABC=角ACB,
因为MF平行AB,所以,角MFC=角ABC,
所以,角MFC=角ACB,所以,MF=CM=BN。
因为MF平行AB,所以,角BNE=角FME,角NBE=角MFE,
所以,三角形BNE全等三角形FME,所以,ME=NE。
所以,DE⊥MN(等腰三角形底边上的中线与底边的高重合。)
(2)孙肢不变,BC/EK=2。
由(1)中三角形BNE全等三角形FME可得,BE=EF=1/2BF。
由MF=MC,MK⊥BC知,FK=KC=1/2CF。
所以,EK=EF+FK=1/2BF+1/2CF=1/2(BF+CF)=1/2BC。
所以,BC=2EK,BC/EK=2。
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