Question

函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期

需要过程

Answer 1

一张图帮你更好的理解答案。

其实这种题只能用画图算。

0<x<π/2时

y=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)

π/2<x<π时

y=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)

π<x<3π/2时

y=-sinx-cosx=-√2sin(x+π/4)

3π/2时<x<2π时

y=-sinx+cosx=-√2sin(x-π/4)

画出函数图像，观察可得

y的最小正周期为π/2

Answer 2

解：注意到首先π/2就是一个正周期，这是因为，sin(x + π/2)不管是等于正的cos(x)还是负的cos(x)，取完绝对值都等于 |cos(x)|，同理，|cos(x + π/2)| = |sin(x)|，这样，
f(x + π/2) = |cos(x)| + |sin(x)| = |sin(x)| + |cos(x)| = f(x)，于是π/2就是一个周期。

剩下的就是验证这是最小的了。其实别的都不需要考虑，就是验证下π/4是不是周期就行了（因为sin(x) + cos(x) 可以化为 sin (x + π/4)的形式，所以为以防万一，验证下π/4），其他的数值都没有理由去验证。由于f(0) = 1, f(π/4) = 根号2，显然二者不等，于是最小正周期就是π/2。

答案：π/2.

你可能会问我是怎么想到π/2的，其实也没有固定的思路。在这里你看到x前面没有乘任何系数，不是2x, 3x这种形式，那比较合理的周期就只能是π, 2π, π/2这样的数值了。你没法一眼看出来就分别代入试试看，很快也可以知道π/2是最小正周期的。

Answer 3

因为|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|，
故：函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期是π/2