Question

一阶线性微分方程的通解公式

(x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)^3,求y的通解

答案是y=(x-2)^3+C*(x-2)，过程详细一点，中间有积分问题我不是很懂，谢谢

Answer 1

这是一阶线性非齐次微分方程，有三种方法：最简单的是公式法，先化成y'-[1/(x-2)]y=2(x-2)^2,通解y=e^(-∫-1/(x-2)dx)*(C+∫2(x-2)^2*(e^∫-1/(x-2)dx)dx)，常数变易法什么的还是看书吧，我这手机打着太费劲，乱糟糟的你也累，常数变易法就是先作对应的齐次方程的通解，再把任意常数C换成函数C(x)，积分因子法就是方程两边都乘以同一因子，是方程变成如uy'+u'y的形式，从而化成[uy]'去掉y'项便于积分，把书上这一章最前面最基本的吃透了比什么都好使！相信我。

追问

怎么化简，有e^ln之类的

Answer 2

解：∵(x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)³
==>(x-2)dy=[y+2*(x-2)³]dx
==>(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx
==>[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx
==>d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]
==>y/(x-2)=(x-2)²+C (C是积分常数)
==>y=(x-2)³+C(x-2)
∴原方程的通解是y=(x-2)³+C(x-2) (C是积分常数)。

追问

可以用通解公式吗？谢谢

追答

我用的是全微分方法。这要看你用哪个通解公式了。如果此题满足通解公式的条件，当然可以用通解公式。

追问

就题论题，这个题能不能用通解公式？

追答

微分方程的公式比较多，我不知道你要用哪个通用公式？你学数学千万不要去死记硬背公式，你只要记住几个基本的公式和公式的推导方法就行了。说实在的，从小学到大学数学公式成百上千，我们哪有这么多精力去死记硬背哟。我是数学专业毕业，数学专业的公式更多，我是从不去死记硬背那些繁琐的数学公式。

Answer 3

[高数]变限积分求导易错点

Answer 4

先化简成标准式如下：
dy/dx+[-1/(x-2)]*y=2*(x-2)^2
因此有：
P(x)=[-1/(x-2)]
Q(x)=2*(x-2)^2
代入一阶非齐次方程通解：
y=exp[-∫P(x)dx]*[∫exp(∫P(x)dx)Q(x)dx+C]
=exp[-∫[-1/(x-2)]dx]*[∫exp[∫[-1/(x-2)]dx]*2(x-2)^2dx+C]
=exp[ln(x-2)][∫exp[-ln(x-2)]*2(x-2)^2dx+C]
=(x-2)[∫[1/(x-2)]*2(x-2)^2dx+C]
=(x-2)[2∫(x-2)dx+C]
=(x-2)[(x-2)^2+C]
=(x-2)^3+C(x-2)
我想这个已经够详细了吧