Question

数列An满足：A1=1,A2=2/3,An+2=3/2An+1-1/2An,记dn=An+1-An,求证dn是等比数列

（2）求数列An的通项公式
（3）令Bn=3n-2,求数列An*Bn的前n项和Sn

Answer 1

（1）a(n+2)=3/2a(n+1)-1/2 an
a(n+2)-a(n+1)=1/2 a(n+1)-1/2 an
d(n+1)=(1/2)* dn
d(n+1)/dn =1/2
所以{dn}为等比数列 ，q=1/2 首项为 1/2
（2）a(n+1)-an=（1/2）^n
an-a(n-1）=（1/2）^（n-1） ，n≥2
...
a2-a1=1/2
累加，得 an-a1=1/2+（1/2）^2+...+（1/2）^（n-1）
=1-(1/2)^(n-1)
an=1-(1/2)^(n-1)+a1= 2 -(1/2)^(n-1)
a1= 2-（1/2）^0=2-1=1
所以an=2 -(1/2)^(n-1) ，n∈N*
（3） bn=3n-2
an*bn=【2 -(1/2)^(n-1)】*（3n-2）=6n-4 - (3n-2) (1/2)^(n-1)
Sn= (2+8+14+,,,+6n-4) - (1*(1/2)^0+4*(1/2)^1 + 7 * (1/2)^2 +...+(3n-2) (1/2)^(n-1)）
令Tn=1*(1/2)^0+4*(1/2)^1 + 7 * (1/2)^2 +...+(3n-2) (1/2)^(n-1)
1/2Tn= 1*(1/2)^1 +4* (1/2)^2 +7* (1/2)^3+...+(3n-5) (1/2)^(n-1)+(3n-2) (1/2)^(n)
两式相减 ，得 1/2*Tn=1*(1/2)^0+3*(1/2)^1+ 3*(1/2)^2+...+3*(1/2)^(n-1)- (3n-2) (1/2)^(n)
1/2*Tn=1+3*[(1/2)^1+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1)]-(3n-2) (1/2)^(n)
1/2*Tn=4 - (3n+4)*(1/2)^n
Tn= 8- (6n+8)*(1/2)^n
Sn= (2+8+14+,,,+6n-4) - Tn
=3n^2 -n - 8+(6n+8)*(1/2)^n ,n∈N*

Answer 2

An+2=3/2An+1-1/2An-----（An+2）-（An+1）=1/2（（An+1）-（An））
所以(dn+1)=1/2dn;
d1=-1/3,所以dn=-1/3乘(1/2)的（n-1）次方；