Question

高中数学中关于复合函数方面的问题

研究复合函数是为了把复杂的函数化成基本初等函数的简单形式.下面我对于一道题的分析过程错在哪呢?

如y=f(x)=1/(x-1),它是复杂函数(不是六类基本初等函数形式),现在我想把它化成基本初等函数形式,那么就是由两个基本初等函数组成,它们是①:y=f(u)=1/u,②:u=g(x)=x-1,①和②复合:y=f[g(x)]=1/g(x)=1/(x-1),我知道这是错的,那么错在哪呢?正确的分解过程是什么?谢谢

Answer 1

错误我看是这样的，仅供你参考：

1. f(x)=1/(x-1)与f(u)=1/u不是一个函数，为什么？对应关系不对（对应关系一样才是同一个函数），如x=2时，第一式=1，第二式=1/2。但它们又都很像，图像上就沿X轴移动了一个单位，我们抹掉坐标系，两个图像实际上是一样的，除了位置有点变化，从这一点上说，他们都是同一类函数。

2. y=f[g(x)]=1/g(x)=1/(x-1)：这样是代不出东西的，也是无意义的，只能代出：f[x-1]=1/g(x)=1/(x-1)

3. 根本的错误在于你对复合函数的认识。如：y=(x+Sinx)/Cosx，比你列的式子稍复杂一点，它就是把x、Sinx、Cosx这些基本函数通过算符组合在一起，无论再多复杂，最终，指定一个x,它给出了唯一的对应值，这才是最重要的，样子多复杂都不重要，顶多归纳化简一下即可，但像你的设想那样，套锅套盆（而且就6套）把他们串起来是没有意义的。

4. 复合函数的真正意思是：y=f(u),u=p(x),打个比方说，你(x)写了这样一道题(a)，就是x=a,百度知道上的大家(u)看到了,其中的我的回答（b）被选中，b=p(x)，可能条件多挺复杂（p由许多基本函数经加减乘除组合出来）；我的回答（u=b）因为答的好，又被百度选中发表一次，在某某期某某挡中。总之这是两个因果过程，两个过程的对应（p、f）也许写出来挺复杂（按你说的是复杂的函数），如f再复杂也是一个因果。用复合函数把复杂的函数化成基本初等函数的简单形式的想法，就像把一个因果拆成了两个或多个因果层次，这绝对是不对的。

5. 总之，复合函数是针对一个因果链的表示与处理的，函数就是说一个因果关系是怎样的。

   希望我能说的清楚，你也可以与同学讨论一下。

追问

您的观点我不太赞同.f(x)=1/(x-1)中的f就是您说的因果关系(对应法则),这里的f就是把自变量x(f(x)中的x)先减1后的结果再倒数.如果把f(x)中的x换成x-1,如果f不变,就是您说得因果关系(对应规则没变),那么就是把x-1减1后再倒数,即f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/x

追答

为了区别我换一个写法：f(x)=1/(x-1)，F(x-1)=1/x，
f与F是否是一个函数，看对应关系
假设f()括号中的值是5，即x=5，则对应1/4
假设F()括号中的值是5，x-1=5,则对应1/6
所以f与F不同。不论括号中的写法多复杂，要整体看最终就是一个值，同样等号右边的表达式的写法多复杂，它最终也是一个值。改造等号左边括号中的表示与等号右边的表示，让大家能看的简单些（6类基本初等函数的嵌套或组合）没有什么意义。是一个式子看起来复杂啊，还是几个式子嵌套起来复杂啊，你琢磨一下。
你的f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/x写法有误，是f(x-1)=1/[(x-1)-1]=1/(x-2)
按此：f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就都是一个意思。

追问

您说f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就都是一个意思。那么f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)就是同一个函数,?根据函数的三要素,f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)并不是一个意思,因为他们的定义域不一样,前面那个x≠1,后面那个x≠2,定义域都不一样,怎么说是一个意思呢?

追答

f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)都是一个意思的本意是：f(Good)=1/(Good-1)。将x-1与Good一样，看作一个词，没有将x-1中的x单独挑出来特殊对待。
要将x挑出来特殊对待也是可以的，那就是g(x)=x-1,这样的话，就写成f(g(x))=1/(g(x)-1)，这样，g(x)与Good仍然一样依旧是一个词。
具体说f(g(x))=1/(g(x)-1)与f(Good)=1/(Good-1)是不是同一个函数，就要看g(x)与Good的取值范围是否一致了，如一致就是同一个函数。
在这个例子中，g(x)与Good都不能等于1（f形式的制约），递推到第一个因果g(x)=x-1,所以x≠2。Good除了不能等于1没有什么约束，我们自己决定（随意定），假设Good=Sinx,则约束为[-1,1），x≠(π/2+2kπ），如果这样那就不是同一个函数（主要指f(g(x))与f(Good)）。
前文所说的“整体看”，就是将x-1、Good、g(x)都看作一个整体（一个词，一个符号），至于它们是否受别的约束，那是另一个事情。如果受x约束（x也不一定自由，也许还要受别的约束，这就又嵌套一层），那f就是复合函数：自己的定义域是另一个函数的值域，如此而已。
在f(x)=1/(x-1)与f(x-1)=1/(x-2)，你是将x作为这两个式子定义域的代表，这是错误的，至少第二个是错误的（这个x应是[随便编一个词]K(x)，第一式K(x)=x≠1，第二式K(x)=x-1≠1，x都是K(x)的定义域代表，不是f的，f的定义域只能找K），你再考虑一下。
不知上述我是否能够说清，可再追问。

Answer 2

分解过程是对的，但是:u=g(x)=x-1要指出定义域x≠1,

追问

对的?不应该吧,如果是对的,那么会出现f(x)=f[g(x)]=f(x-1)=1/(x-1),这显然是不对的

追答

f(x)=f[g(x)]=f(x-1)=1/(x-1)这是不对的，因为x不等于g（x）。
代换不能这样做，f（x）和f（u）的一致性是二者没有其他关系才能成立，即保证自变量的任意性
当u=x-1时，f（x）和f（u）不是一致的

追问

我知道是错的,我已经说过是错的,,我是在问我的那个分析过程到底错在哪?完整的分析过程是啥!!!是由哪两个基本初等函数组成,它们各是啥?谢谢

追答

严格的说，x-1不是基本初等函数，但是到这一步已经没法再分解了
x和-1是两个基本初等函数，x-1是初等函数，最多也就分解到这一步了

追问

唉,您老是没看懂我的疑问到底是啥,我是问分析过程中的错误,不要纠结x-1,我这样说吧,我把x-1换成x^2-1,即 y=f(x)=1/(x^2-1), 那么就是由两个基本初等函数组成,它们是①:y=f(u)=1/u,②:u=g(x)=x^2-1,①和②复合:y=f[g(x)]=1/g(x)=1/(x^2-1),那么我的分析过程中哪个地方是错的?

Answer 3

比如y=f（x）
z=f（y）
有
z=f（f（x））
很显然
f（x）的值域是z的定义域，或者z的定义域是f（x）的值域
这个要看具体函数了，比如其中包含根号之类的限制条件，就要做出判断了。