Question

高中数学立体几何面面垂直问题

在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90°PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2，AB=2√3，BC=6
1.求证BD⊥平面PAC
2.求二面角P-BD-A的大小

Answer 1

1、在直角梯形的四棱锥P-ABCD中
因为,∠ABC=90°
所以三角形BAD和ABC都是直角三角形
因为AD/AB=三分之根号3
所以∠ABD=30°
因为BC/AB=√3
所以∠BAC=60°
在三角形ABE中
∠ABE=30°
∠BAE=60°
所以∠BEA=90°
即BD垂直AC
因为PA⊥平面ABCD
所以PA垂直BD
又因为AC交PA于A
所以BD⊥平面PAC

2、连接 PE
因为BD⊥平面PAC
所以BD垂直PE
又因为AE垂直BD
所以∠PEA为二面角P-BD-A的平面角
在直角三角形BAD中
因为AD=2，AB=2√3，∠BAD=90°
所以BE=4
因为三角形BAD和三角形AEB都是直角三角形
两三角形有公共角∠ABD
所以三角形BAD和三角形AEB相似
即BE/AD=AB/AE
又因为AD=2，AB=2√3
所以AE=√3
在直角三角形PAE中
因为∠PAE=90°
PA=3，AE=√3
所以PA/AE=√3
即∠PEA=60°
所以二面角P-BD-A的大小为60°